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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b = 4 a, A + C = \frac{5 π}{6}$ ，则 $sin A =$ ，

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2、下列命题为真命题的是（）

A、 $\sqrt{x^{2} - 4 x - 8 \sqrt{- x} + 4} + |x - 1|$ 的最小值是2 B、 $\sqrt{x^{2} - 4 x - 8 \sqrt{- x} + 4} + |x - 1|$ 的最小值是 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{x^{2} - 4 x - 8 \sqrt{- x} + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x - 4 \sqrt{- x} + 2}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{x^{2} - 4 x - 8 \sqrt{- x} + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x - 4 \sqrt{- x} + 2}$ 的最小值是 $\sqrt{3}$

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3、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, ∠ A B D = 60^{\circ}, P B, P C$ 与底面 $A B C D$ 所成的角分别为 $α, β$ ，且 $α + β = 45^{\circ}$ ，则 $\frac{P A}{A B} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{17} - 2}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15} - 2}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17} - 3}{2}$

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4、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $D (5, 0), B (2, A), B C ⊥ C D$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, P$ 是 $C$ 上任意一点， $O$ 为坐标原点， $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $d$ ，则（）

A、 $4 | O P |^{2} - d^{2}$ 为定值 B、 $3 | O P |^{2} - d^{2}$ 为定值 C、 $| O P |^{2} + 4 d^{2}$ 为定值 D、 $| O P |^{2} + 3 d^{2}$ 为定值

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6、已知直线 $y = x + 1$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $△ M O N$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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7、如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面的半径分别为 $a$ 厘米， $b$ 厘米，高为 $c$ 厘米），则该青铜器的容积约为（取 $π = 3$ ）（）

A、 $c (a^{2} + a c + b^{2})$ 立方厘米 B、 $c (a^{2} - a c + b^{2})$ 立方厘米 C、 $c (a^{2} - a b + b^{2})$ 立方厘米 D、 $c (a^{2} + a b + b^{2})$ 立方厘米

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8、若向量 $\vec{a} = (- 1, 5)$ ， $\vec{b} = (x, x + 1)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，给定集合D，若 $f (x)$ 满足对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，存在实数 $λ$ ，当 $x_{1} - x_{2} \in D$ 时，都有 $λ [f (x_{1}) - f (x_{2})] \in D$ ，则称 $f (x)$ 是D上的“ $λ$ 级优函数”．

(1)、请写出一个 ${1}$ 上的“1级优函数”，并说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 是 $[2, 3]$ 上的“2级优函数”，
（ⅰ）证明： $f (x + 6) - f (x) = 3$ ；
（ⅱ）当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = a x + \frac{b}{x + 1}$ ，其中a， $b \in Z$ ，求a，b的值．

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10、已知函数 $f (x) = 2 \cos (x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图象上各点向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，记函数 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ ．
（ⅰ）求 $h (x)$ 的值域；
（ⅱ）若 $h (x_{0}) = - \frac{4 \sqrt{7}}{7}$ ， $x_{0} \in (\frac{π}{12}, \frac{7π}{12})$ ，求 $\tan 2 x_{0}$ 的值．

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11、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} + a g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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12、单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限．

(1)、如图，当 $\overset{⌢}{B C}$ 的长为 $\frac{π}{3}$ 时，求线段BC与 $\overset{⌢}{B C}$ 所围成的弓形（阴影部分）面积；

(2)、记 $∠ A O C = α$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，当 $B O ⊥ C O$ ，点B的横坐标为 $\frac{4}{5}$ 时，求 $sin α + cos α$ 的值．

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13、设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 1 \leq x \leq 4}$ ，集合 $B = {x ∣ a + 2 \leq x \leq a + 10}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求a的取值范围；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求a的取值范围.

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14、实数a，b满足 $a^{2} - a + b^{2} = 0$ ，则使 $a + λ b \leq 2$ 恒成立的实数 $λ$ 的最大值为．

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15、函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 在区间 $[0, m]$ 上不单调，则实数m的取值范围为．

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0, \\ - 2^{x} + 1, x \leq 0, \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ．

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17、已知函数 $f (x)$ ，如果存在不全为零的实数a，b，使得 $f (x + a) - b$ 为奇函数，那么 $f (x)$ 叫做关于 $(a, b)$ 的“类奇函数”．下列结论正确的有（）

A、 $f (x) = x^{3} + 1$ 为“类奇函数” B、 $f (x) = \ln x$ 为“类奇函数” C、若 $f (x)$ 为“类奇函数”，则 $f (x)$ 可以是偶函数 D、若 $f (x)$ 是关于 $(a, b)$ 的“类奇函数”，则 $f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形

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18、已知函数 $f (x) = \tan 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 成中心对称图形 C、 $f (x)$ 的图象可以由 $y = - \tan 2 x$ 的图象平移得到 D、 $f (x)$ 的图象与 $y = \cos 4 x$ 的图象在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上有唯一公共点

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19、下列命题中成立的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a b > b^{2}$ C、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$ D、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c > b d$

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20、已知 $a = \sin 3$ ， $b = \log_{5} 3$ ， $c = \log_{6} 4$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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