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相关试卷

1、设 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $|z - \bar{z}| =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、0

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2、已知集合 $A = \{x \in R ∣ x^{2} - x - 2 < 0\}, B = \{y ∣ y = 2^{x}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 4)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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3、函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．
定义1：设函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义， $f (x)$ 称为 $I$ 上的下凸函数，当且仅当 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} ．$
定义2：设函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义， $f (x)$ 称为 $I$ 上的下凸函数，当且仅当 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in I (n \in N^{*}),$ 有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n} ．$
将定义1，2中的“ $\leq$ ”改为“ $\geq$ ”，则相应地称函数 $f (x)$ 为 $I$ 上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：

(1)、若 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，试根据定义1证明 $f (x)$ 为 $R$ 上的下凸函数；

(2)、已知 $g (x) = sin x$ 为 $(0, π)$ 上的上凸函数，若 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的内角，求 $sin A + sin B + sin C$ 的最大值；

(3)、设 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ 为大于或等于1的实数，证明： $\frac{1}{r_{1} + 1} + \frac{1}{r_{2} + 1} + \dots + \frac{1}{r_{n} + 1} \geq \frac{n}{\sqrt[n]{r_{1} r_{2} \dots r_{n}} + 1}$ ．

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4、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 2, g (x) = 2 x^{2} - |x - a| (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，在同一直角坐标系中画出函数 $f (x), g (x)$ 的图象；

(2)、 $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x), g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ .当 $a = 0$ 时，求 $m (x)$ 的解析式；

(3)、设 $F (x) = f (x) - g (x)$ ，记 $F (x)$ 的最小值为 $φ (a)$ ，求 $φ (a)$ 的最小值.

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5、已知函数 $f (x) = 2 a (cos x - \sqrt{3} sin x) cos x$ （ $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ）的最大值为2．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} - a (a \in R)$ ．

(1)、是否存在实数 $a$ ，使函数 $f (x)$ 为奇函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并加以证明．

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7、已知 $sin α + cos α = \frac{1}{5}$ ， $α \in (0, π)$ ．

(1)、求 $sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值．

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8、已知 $f (x) = a \cdot b^{x} + c$ （其中 $a, b, c$ 为常数）．① $f (0) = 0$ ；②当 $x > 0$ 时， $0 < f (x) < 1$ ．写出满足条件①②的一个函数 $f (x) =$ ．

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9、已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $(\frac{3}{4}, - \frac{\sqrt{7}}{4})$ ，则 $sin (π + α) =$ ．

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x) > f (x - 1) + f (x - 2)$ ，且当 $x < 3$ 时， $f (x) = x$ ，则下列结论中一定正确的有（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (3) > 3$ C、 $f (9) > 90$ D、 $f (15) > 900$

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11、使不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立的一个充分条件是（）

A、 $k = 0$ B、 $k = 1$ C、 $k = - 1$ D、 $- 3 < k < 0$

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12、对于函数 $f (x) = sin 2 x$ 和 $g (x) = cos (2 x - \frac{π}{4})$ ，下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的零点 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最大值 C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小正周期 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有相同的对称轴

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13、已知 $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}, α \in (\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}),$ 则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$

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14、函数 $f (x) = ln x + 3 x - 5$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, 2)$

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15、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, 4)$ ，则不等式 $f (3 x - 1) > f (2 x)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(\frac{1}{5}, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (1, + \infty)$

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16、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 $4800 m^{3}$ ，深为 $3 m$ ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（）

A、160000元 B、179200元 C、198400元 D、297600元

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17、把函数 $y = sin x$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来 $\frac{1}{2}$ 的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ B、 $sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{8})$ C、 $sin |2 x + \frac{π}{4}|$ D、 $cos 2 x$

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18、命题 $ \forall x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$

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19、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 5\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 $\{4\}$ B、 $\{5\}$ C、 $\{3, 4, 5\}$ D、 $\{1, 2, 3, 5\}$

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20、“ $α \in (0, \frac{π}{2})$ ”是“ $α$ 是第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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