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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的既不充分也不必要条件 B、 $y = \log_{2} (- x^{2} + \frac{1}{4})$ 的最大值为 $- 2$ C、若 $\cos^{2} α + \sin^{2} β = 1$ ，则 $α = β$ D、命题 “ $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x + \frac{1}{x} > 1$ ”的否定是“ $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x + \frac{1}{x} \leq 1$ ”

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2、函数f(x)＝ $\{\begin{cases} \log_{2} x, x > 0 \\ - 2^{x} + a, x \leq 0 \end{cases}$ 有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)

A、a<0 B、0<a< C、 <a<1 D、a≤0或a>1

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3、曲线 $y = x^{2} e^{x}$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程为（）

A、 $e x + y - 2 e = 0$ B、 $3 e x + y - 4 e = 0$ C、 $3 e x - y - 2 e = 0$ D、 $e x - 3 y + 2 e = 0$

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4、圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为 $(30 \sqrt{3} - 30) m,$ 在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（） $. (\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

A、30 $m$ B、60 $m$ C、 $30 \sqrt{3} m$ D、 $60 \sqrt{3} m$

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5、函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - 6$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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6、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = \{0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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7、已知某运动员每次投篮命中的概率都为 $40 %$ ，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定 $1, 2, 3, 4$ 表示命中， $5, 6, 7, 8, 9, 0$ 表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： $137$ $960$ $197$ $925$ $271$ $815$ $952$ $683$ $829$ $436$ $730$ $257$ ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{5}{8}$

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8、已知 $a \in R$ ，则“ $a < 1$ ”是“ $\frac{1}{a} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、为响应国家使用新能源的号召，促进“碳达峰碳中和”的目标实现，某汽车生产企业在积极上市四款新能源汽车后，对它们进行了市场调研.该企业研发部门从购买这四款车的车主中随机抽取了

50

人，让车主对所购汽车的性能进行评分，每款车的性能都有

1

分、

2

分、

3

分、

4

分、

5

分五个等级，各评分及相应人数的统计结果如下表.

汽车性能		汽车款式			合计
		基础版	豪华版
一般
优秀
合计

性能评分汽车款式		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
基础版	基础版 $1$	$2$	$2$	$3$	$1$	$0$
	基础版 $2$	$4$	$4$	$5$	$3$	$1$
豪华版	豪华版 $1$	$1$	$3$	$5$	$4$	$1$
	豪华版 $2$	$0$	$0$	$3$	$5$	$3$

(1)、求所抽车主对这四款车性能评分的平均数和第

90

百分位数；

(2)、当评分不小于

4

时，认为该款车性能优秀，否则认为性能一般.根据上述样本数据，完成上面列联表，并依据

α = 0.05

的独立性检验，能否认为汽车的性能与款式有关？

(3)、为提高这四款新车的性能，现从样本评分不大于

2

的基础版车主中，随机抽取

3

人征求意见，记

X

为其中基础版

1

车主的人数，求

X

的分布列及数学期望.

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$α$	$0.10$	$0.05$	$0.01$	$0.005$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$

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10、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(\sqrt{3} b - a) sin A = (b + c) (sin B - sin C)$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为2，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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11、已知 $x$ ， $y$ 之间的一组数据：若 $y$ 与 $\sqrt{x}$ 满足经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} \sqrt{x} + \hat{a}$ ，则此曲线必过点.
x
$1$
$4$
$9$
$16$
y
$1$
$2.98$
$5.01$
$7.01$

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12、下列命题正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ ”； B、如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的必要不充分条件 C、函数 $f (x) = a x^{2} + x + 1$ 的图象恒在 $g (x) = x^{2} + a x$ 的图象上方，则a的范围是 $(1, 5)$ D、已知 $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ 均不为零，不等式不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 和 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} > 0$ 的解集分别为M和N，则“ $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ”是“ $M = N$ ”成立的既不充分也不必要条件

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13、已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布 $N (100, 100)$ ，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（）
附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N ~ (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

A、该市学生数学成绩的标准差为100 B、该市学生数学成绩的期望为100 C、该市学生数学成绩的及格率超过0.8 D、该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + 2 x - 1 (x > 2) \\ {(\frac{1}{2})}^{x} - \frac{5}{4} (x \leq 2) \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 1]$

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15、若 ${(3 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中 $\frac{1}{x^{5}}$ 的系数为（）

A、8 B、28 C、70 D、252

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16、已知 $\cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{5}{6}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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17、若“ $x > a$ ”是“ $x > 1$ ”的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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18、设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $M$ 满足 $∁_{U} M = {2, 4}$ ，则（）

A、 $1 \subseteq M$ B、 $4 \subseteq M$ C、 $5 \in M$ D、 $3 \notin M$

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19、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、2 B、 $2 \vec{a}$ C、 $- 2 \vec{b}$ D、 $- 2$

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20、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，已知当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ；

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式并画出函数图象，根据图像写出函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若方程 $f (x) - m = 0$ 有3个相异的实数根，求实数 $m$ 的取值集合；

(3)、求不等式 $f (x) > 2$ 的解集.

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