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相关试卷

1、已知随机变量 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = P (ξ \geq a)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{9}{a - x} (0 < x < a)$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形， $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $P D = 2$ ， $∠ P D A = 60 °$ ， $∠ P A D = 30 °$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，在平面ABCD内过B作 $B O ⊥ A D$ ，交AD于O，连PO.

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面ABCD；

(2)、求面APB与面PBC所成角的正弦值；

(3)、在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求PM的长.

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3、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A D = ∠ B A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， E为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点．

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A A_{1}}$ 表示 $\vec{A E}$ ；

(2)、求线段 $A E$ 的长；

(3)、求异面直线 $A E$ 与 $B D$ 所成的角．

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4、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求

(1)、分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；

(2)、分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；

(3)、求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率．

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5、已知球 $O$ 的半径为 $1, A B$ 是球 $O$ 的直径，点 $D$ 在球 $O$ 的球面上.若空间中一点 $C$ 与点 $D$ 间的距离为 $\sqrt{3}$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最小值为.

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6、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{n} = (1, 0, 2)$ ，点 $A (0, 1, 1)$ 在直线 $l$ 上，若点 $P (1, a, 2)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ ，则 $a =$ ．

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7、已知直线 $l$ 过两条直线 $x - y + 2 = 0$ 和 $2 x + y + 1 = 0$ 的交点，且与直线 $x - 3 y - 2 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为(结果用一般式表示) ．

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8、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N两点在线段 $A_{1} C_{1}$ 上运动，且 $M N = 1$ ，则（）

A、在M，N两点的运动过程中， $B D ⊥$ 平面 $B M N$ ； B、在平面 $C D D_{1} C_{1}$ 上存在一点P，使得 $P C //$ 平面 $B M N$ ； C、三棱锥 $B_{1} - M N B$ 的体积为定值 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ； D、以点D为球心作半径为 $2 \sqrt{2}$ 的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为 $3 π$ ．

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9、下列说法正确的是（）

A、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 B、“ $a = - 2$ ”是“直线 $a x + 2 y + a^{2} = 0$ 与直线 $x + (a + 1) y + 1 = 0$ 互相平行”的充要条件 C、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ D、若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 $x + y - a = 0$

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10、下列说法正确的是（）

A、若 $P (A) + P (B) = 1$ ，则事件A与B是对立事件 B、设A，B是两个随机事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，若 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则A，B是相互独立事件 C、A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D、若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立

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11、体积为 $9 \sqrt{3} π$ 的圆锥 $M O$ 底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥 $M O$ 的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足 $\vec{M N} = x \vec{M A} + y \vec{M B} + z \vec{M C}$ （其中 $x + y + z = 1$ ），则 $|\vec{M N}|$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、6

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12、设向量 $\vec{a} = (3, 5, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 3)$ ，当数 $m$ 与 $n$ 满足下列哪种关系时，向量 $m \vec{a} + n \vec{b}$ 与 $x$ 轴垂直（）

A、 $3 m = 2 n$ B、 $3 m = n$ C、 $m = 2 n$ D、 $m = n$

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13、下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{A C}$ C、 $| \vec{A B} | = | \vec{B C} |$ D、 $\vec{A B} = \vec{B C}$

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14、某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为 $x^{2} + 2 x$ 万元（今年为第一年）.

(1)、试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？

(2)、该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：
①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；
②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.
试问哪一种方案较为划算？请说明理由.

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15、函数 $f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{3 x - 2}} + {(x - 1)}^{0}$ 的定义域为．

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16、设函数 $f (x) = \ln x + 2 x^{2} - 5 x$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的极小值；
（2）若关于x的方程 $f (x) = 2 x^{2} + (m - 6) x$ 在区间 $[1, e^{2}]$ 上有唯一实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + 2 {sin}^{2} x .$
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；
（2）求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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18、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x^{2} + 3 x - 4 \leq 0\}$ ， $B = \{x | m - 1 \leq x \leq m + 1\}$ .
（1）若 $m = 1$ ，求 $(∁_{U} B) \cap A$ ；
（2）若 $B \subseteq A$ ，求 $m$ 的取值范围.

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19、已知集合 $A = {x | x^{2} + 7 x + 12 \leq 0}$ ，集合 $B = \{x | 1 - 2 m < x < 2 m\}$ 其中 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，则 $m$ 的取值范围是．

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20、设 $x > - 1$ ，则函数 $y = x + \frac{4}{x + 1} + 6$ 的最小值是.

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