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相关试卷

1、已知空间中三个不同的点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ B、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ C、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{C B}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{B C}$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - a \ln x + 1$ ， $a \in R$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值；

(2)、求 $f (x)$ 的零点个数．

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3、某工艺品如图所示分成 $A, B, C, D, E$ 五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（用数学作答）.

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4} = 4, S_{4} = 10$ ，则数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前2019项和为．

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5、已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - 3 x f^{'} (1)$ ，则 $f' (1) =$ .

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F,$ 经过点 $F$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °,$ 且直线 $l$ 交该椭圆于 $A, B$ 两点，若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、设直线 $y = t$ 与曲线 $y = x {(x - 3)}^{2}$ 的三个交点分别为 $A (a, t)$ 、 $B (b, t)$ 、 $C (c, t)$ ，且 $a < b < c$ .现给出如下结论：① $a b c$ 的取值范围是 $(0, 4)$ ；② $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 为定值；③ $c - a$ 有最小值无最大值.其中正确结论的个数为

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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8、设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若 $\frac{S_{2020}}{S_{1010}}$ ＝3，则 $\frac{S_{3030}}{S_{1010}}$ ＝（）

A、9 B、7 C、5 D、4

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9、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最大值是（）

A、-4 B、-2 C、0 D、2

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10、函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像如图所示，以下命题正确的是（）

A、 $f (- 1)$ 是函数的最小值 B、 $f (- 1)$ 是函数的极值 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上不单调 D、 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线的斜率大于0

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足：公差 $d \neq 0$ ， $13 a_{7} = 12 a_{6}$ ， $a_{m} = 0$ ，则 $m =$ （）

A、17 B、18 C、19 D、20

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12、如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

(1)、证明：D₁E⊥A₁D；

(2)、当E为AB的中点时，求异面直线AC与D₁E所成角的余弦值；

(3)、AE等于何值时，二面角D₁﹣EC﹣D的大小为 $\frac{π}{4}$ ．

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13、已知直线 $l$ 的方向向量 $\vec{n} = (1, 0, - 1)$ ， $A (2, 1, - 3)$ 为直线 $l$ 外一点. 若点 $P (- 1, 0, - 2)$ 为直线外一点，则P到直线 $l$ 上任意一点 $Q$ 的距离可能为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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14、下列有关数列的说法正确的是（）

A、数列-2023，0，4与数列4，0，-2023是同一个数列 B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n (n + 1)$ ，则110是该数列的第10项 C、在数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \cdot \cdot \cdot$ 中，第8个数是 $2 \sqrt{2}$ D、数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 $a_{n} = 2^{n} + 1$

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，其前n项和 $S_{n} = p a_{n + 1} + r (n \in N^{*}, p > 0)$ .则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为p B、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 C、 $r = - p - 1$ D、当 $p - \frac{1}{4 r}$ 取最小值时， $a_{n} = 3^{n - 1}$

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16、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直， $A B = \sqrt{2}$ ， $A F = 1$ ， M在EF上，且 $A M / /$ 平面BDE，则M点的坐标为（）

A、 $(1, 1, 1)$ B、 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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17、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $4 a_{1} + a_{3} = 8$ ， $S_{n}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{5} =$ （）

A、63 B、48 C、31 D、15

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18、直线 $x - \sqrt{3} y - 1$ ＝ $0$ 的倾斜角 $α$ ＝（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其中一个焦点的坐标为 $(1,, 0)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过左焦点的直线交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 在 $C$ 上.
（i）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 为坐标原点，求直线 $A B$ 的方程；
（ii）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，求 $G$ 的横坐标的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2}$ （a为实常数）．

(1)、若 $a = - 1$ ，求证： $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上是增函数；

(2)、当 $a = - 4$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最大值与最小值及相应的x值；

(3)、若存在 $x \in [1, e]$ ，使得 $f (x) \leq (a + 2) x$ 成立，求实数a的取值范围．

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