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相关试卷

1、已知平面 $α ⊥$ 平面 $β, α, β$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{1} = (1, 2, 3), \vec{n_{2}} = (0, x, 2)$ ，则实数 $x =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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2、下列方程所表示的直线中，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的是（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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3、一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了 $n$ 次.

(1)、已知质点每次向右移动的概率为 $p (0 < p < 1)$ .
①当 $p = \frac{1}{2}, n = 6$ 时，求质点最终回到原点的概率；
②规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续、直到移动了 $n$ 次，分别求出当 $n = 3$ 和 $n = 5$ 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小

(2)、现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 $p_{1}$ 、共移动了3次、若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为0分. 若最终落在了原点右侧、则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 $p_{2}$ ，并再次移动了3次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为0分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数.
①请用含 $p_{1}, p_{2}$ 的式子表示该游戏得分的数学期望；
②若 $p_{1} + p_{2} = 1 ，$ 则当 $p_{1}$ 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - a$ ， $g (x) = (a + 1) x^{2} - (1 + 2 a) x - a + 1 (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上最大值为2，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，求不等式 $f (x) > g (x)$ 的解集.

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5、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B // D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 中点.

(1)、证明： $B E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F ⊥ A C$ ，求平面 $F A B$ 与平面 $A B P$ 夹角的余弦值.

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6、已知 $\vec{m} = (- 2, t, 5)$ ， $\vec{n} = (3, - 2, t)$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，且 $α ⊥ β$ ，则t的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{2} = 2$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2^{n}$ D、若 $b_{n} = \frac{1}{{log}_{2} a_{n + 1} {log}_{2} a_{n + 2}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前10项和为 $\frac{10}{11}$

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8、已知 $x \in$ R ，则“ $|x - 3| < 1$ ”是“ $- x^{2} - x + 6 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}, \overset{⃑}{A D} = \vec{b}, \overset{⃑}{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{B M} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\overset{⃑}{A C_{1}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $A C_{1}$ 的长为 $\sqrt{5}$ D、 $\cos ⟨\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C_{1}}⟩ = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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10、古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高 $O P = 4$ ，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线 $E F ⊥ A B$ ，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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11、已知点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P M, P N,$ $M, N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $90^{\circ}$ ，则 $r$ 的值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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12、记为 $[m]$ 为不超过m的最大整数，设函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{1 + a^{x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），求 $y = [f (x) - \frac{1}{2}] + [f (- x) - \frac{1}{2}]$ 的值域.

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13、设 $m \in R$ ，若过定点A的动直线 $x + m y - m = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ， AB中点为Q，则 $|P Q|$ 的值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、与m的取值有关

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14、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{x |- 1 < x < 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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15、下列命题不正确的是（）

A、经过定点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的直线都可以用方程 $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ 表示 B、直线 $l$ 过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，倾斜角为 $90 °$ ，则其方程为 $x = x_{0}$ C、在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ 来表示 D、直线 $y = x + 2$ 在 $x$ 轴上截距为2

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16、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 = 0\}$ ， $B = {1, a}$ ，若 $A \cap B = {3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${- 1, 3}$ C、 ${- 1, 1, 3}$ D、 ${- 3, - 1, 3}$

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17、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5, A D = 3, A A_{1} = 4, P$ 是线段 $B C_{1}$ 上异于 $B, C_{1}$ 的一点，则 $C P + P D_{1}$ 的最小值为.

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18、已知以点 $C (t, \frac{2}{t}) (t > 0)$ 为圆心的圆经过原点 $O$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求证： $△ A O B$ 的面积为定值．

(2)、设直线 $2 x + y - 4 = 0$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|O M| = |O N|$ ，求圆 $C$ 的方程．

(3)、在（2）的条件下，设 $P$ ， $Q$ 分别是直线 $l : x + y + 2 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $|P B| + |P Q|$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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19、如图， $E A$ 和 $D C$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $E A = 2 D C$ ， $F$ 是 $B E$ 的中点.

(1)、求证： $D F ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是正三角形，且 $E A = A B = 2$ ，求直线 $A D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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20、已知函数 $f (x) = x + a e^{x - 1}$ ， $g (x) = x - a e^{- x} + 1 (a > 0)$ 的零点分别为 $m$ ， $n$ .

(1)、若 $a = e^{2}$ ，求 $m$ ；

(2)、是否存在 $a$ ，使 $m + n = 0$ ？说明理由；

(3)、若 $k \leq m + n < 0 (- 1 < k < 0)$ ，用含 $k$ 的代数式表示 $m - n$ 最大值.

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