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相关试卷

1、如图，曲线 $y = \sqrt{x}$ 下有一系列正三角形，设第 $n$ 个正三角 $△ Q_{n - 1} P_{n} Q_{n}$ （ $Q_{0}$ 为坐标原点）的边长为 $a_{n}$ ，

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，探究 $a_{n + 1}$ 与 $S_{n}$ 的关系，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、是否存在正实数 $λ$ ，使得不等式 $\frac{3 a_{1}}{3 a_{1} + 1} \cdot \frac{3 a_{2}}{3 a_{2} + 1} \dots \dots \frac{3 a_{n}}{3 a_{n} + 1} \cdot \sqrt{3 a_{n + 1}} < λ^{2} - \frac{4}{3} λ$ 对一切正整数 $n$ 都成？若存在，求出 $λ$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为其左右焦点， $O$ 为原点，且点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若 $∠ A O B = 90 °$ ，求线段OM的长度；
②求点 $A$ 到直线OM的距离 $d$ 的最小值.

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = A C = P C = 4, P A = P B = 2 \sqrt{2}$ ， M是线段 $P C$ 上的点．

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $P M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $P M$ 的长．

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4、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，记 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $c_{n} = \frac{2}{b_{n} \cdot b_{n + 1}} ，$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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5、如图， $M, N$ 分别是二面角 $α - A B - β$ 的两个半平面内两点， $M A = 3, A B = 2, B N = 1$ ， $∠ M A B = ∠ N B A = 120 °$ ，若 $M N = 3 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A M, B N$ 的夹角的正弦值为．

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6、 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上位于第一象限的点，若 $| P F | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $P$ 点的坐标为．

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7、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{10} = 9$ ， $S_{20} = 200$ ，则（）

A、 $a_{1} = 1$ B、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、当 $n = 4$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、若 $S_{n} > 0$ ，则n的最小值为11

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8、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4, 5)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{c} = (- 3, 1, 8)$ 与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面 B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) // \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值是 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$

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9、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且 $\vec{O B} \cdot \vec{B F} = 0$ ， $\vec{A B} = 2 \vec{B F}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 8$ ，直线 $l : m x + y - m - 3 = 0$ ，若直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长的最大值为 $a$ ，最小值为 $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

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11、“ $a = \frac{1}{4}$ ”是直线 $l_{1}$ ： $(2 a - 1) x - a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + 2 a y - 1 = 0$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知空间向量 $\vec{a} = (1, n, 2), \vec{b} = (- 2, 1, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $| \vec{a} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、9

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13、设 $O - A B C$ 是正三棱锥， $G_{1}$ 是 $△ A B C$ 的重心， $G$ 是 $O G_{1}$ 上的一点，且 $O G = 3 G G_{1}$ ，若 $\overset{⃑}{O G} = x \overset{⃑}{O A} + y \overset{⃑}{O B} + z \overset{⃑}{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $1$

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14、某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 $6$ 道备选题中一次性随机抽取 $3$ 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中 $2$ 道题便可通过面试.已知 $6$ 道备选题中应聘者甲有 $4$ 道题能正确完成， $2$ 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.

(1)、求甲正确完成面试题数 $ξ$ 的分布列及其期望；

(2)、求乙正确完成面试题数 $η$ 的分布列及其方差；

(3)、试问：甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.

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15、某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP， $\overset{⌢}{P Q}$ ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q， $\overset{⌢}{P Q}$ 所对的圆心角为 $\frac{π}{6}$ .记∠PCA＝ $2 θ$ （道路宽度均忽略不计）.

(1)、求新路总长度 $f (θ)$ 的解析式；

(2)、求新路总长度的最小值．

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16、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，横坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，解不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ .

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17、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = 1$ ， $|\vec{e_{2}}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ．

(1)、求 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}}$ ；

(2)、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}}$ ，求 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 的值；

(3)、若 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，求 $|λ \vec{e_{1}} - \vec{c}| (λ \in R)$ 的最小值．

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18、 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 是平面内两个单位向量，它们的夹角为 $60^{\circ}$ ， $|\vec{m} - 2 \vec{n}| =$ .

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19、已知 $P$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 内一点（含边界），且 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A F}$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、 $△ P C D$ 的面积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、存在 $λ$ ，使得 $|\vec{P C}| < |\vec{A P}|$ C、 $\cos ∠ C P D \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $\vec{P C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是 $[0, \sqrt{3}]$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{4} sin 4 x + \frac{1}{4} cos 4 x + \frac{3}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]$ C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若方程 $f (x) + m = 0$ 在 $[0, \frac{5 π}{24}]$ 上恰有一个根，则 $m$ 的取值范围为 $(- 1, - \frac{3}{4}]$

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