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相关试卷

1、请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 $A B C D$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 $A B C D$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

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2、已知函数 $f (x) = 2 \sin x (\sqrt{3} \cos x - \sin x) + 1$ ， $x \in R$ ．
（1）求曲线 $y = f (x)$ 的对称中心；
（2）在锐角三角形 $A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ．若 $b + c \leq k a$ 恒成立，求实数 $k$ 的最小值．

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3、如图为函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象，且 $|C D| = \frac{π}{4}$ ， $A (- \frac{5 π}{12}, - 2)$ ．

(1)、求 $ω$ ， $φ$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，讨论函数 $y = g (x) - a$ 在区间 $[- π, \frac{π}{2}]$ 的零点个数．

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4、角 $θ$ 的终边经过点 $P (4, y)$ ，且 $s i n θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n θ =$ ．

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5、已知 $\sin α - \sqrt{2} \cos α = \sqrt{3}$ ，则 $\tan α$ 的值是．

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall α, β \in R, f (α + β) + f (α - β) = 2 f (α) f (β)$ ，且 $f (0) = 1, f (\frac{π}{2}) = - 1$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $f (\frac{π}{4}) = 0$ B、 $f (π) = 0$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、 $f (x + π) = f (x)$

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7、已知锐角 $φ$ 满足 $\sqrt{3} \sin φ - \cos φ = 1$ ．若要得到函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \sin^{2} (x + φ)$ 的图象，则可以将函数 $y = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 的图象（）．

A、向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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8、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{x \in N |(x - 1) (x - 5) < 0\}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2, 3, 5\}$ D、 $\{- 1, 1, 5\}$

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9、下列函数是奇函数且在区间 $(0, 1)$ 上是增函数的是（　　）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = 3^{- x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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10、已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (t,− \sqrt{t}) (t >0)$ ，则（）

A、 $cos2 θ >0$ B、 $cos2 θ <0$ C、 $sin2 θ >0$ D、 $sin2 θ <0$

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11、已知函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，其中 $a \in R$ ， $b \in R$ ，如果对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \neq 2$ ，那么在下列不等式中一定成立的是（）

A、 $- 4 < a + b < 4$ B、 $- 4 < a - b < 4$ C、 $a^{2} + b^{2} < 2$ D、 $a^{2} + b^{2} < 4$

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12、已知点 $P$ 是边长为2的菱形 $A B C D$ 所在平面外一点，且点 $P$ 在底面 $A B C D$ 上的射影是 $A C$ 与 $B D$ 的交点 $O$ ，已知 $∠ B A D = 60 °$ ， $△ P D B$ 是等边三角形.

(1)、求证： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、若点 $E$ 是线段 $A D$ 上的动点，问：点 $E$ 在何处时，直线 $P E$ 与平面 $P B C$ 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段 $D E$ 的长.

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13、函数 $f (x) = x^{3} \cdot \ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $|\vec{A D}| = 2, |\vec{A B}| = 3, |\vec{A A_{1}}| = 4$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ，则 $|\vec{A C_{1}}| =$ ．

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15、函数 $f (x) = ({log}_{2} x - 2) ({log}_{4} x - \frac{1}{2})$ ．

(1)、当 $x \in [1, 4]$ 时，求该函数的值域；

(2)、若 $f (x) > m {log}_{4} x$ 对于 $x \in [4, 16]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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16、（1）设 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos β = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，求 $α + β$ 的值；
（2）化简求值 $\sin 50 ° (1 + \sqrt{3} \tan 10 °)$ ；
（3）化简求值 $\frac{\tan \frac{5 π}{4} + \tan \frac{5 π}{12}}{1 - \tan \frac{5 π}{12}}$ ．

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17、已知函数 $f (x) = \cos 2 x - \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上的单调递增区间．

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18、已知 $m > 0, a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = (m^{2} - 4 m - 4) a^{x}$ 是指数函数，且 $f (2) = 4$ ．

(1)、求 $m$ 和 $a$ 的值；

(2)、求 $f (2 x) - 2 f (x) - 3 > 0$ 的解集．

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19、已知 $x, y > 0$ ，且 $x + 3 \sqrt{y} = 12$ ，则 $x^{2} y$ 的最大值为．

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20、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (x) =$ .

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