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相关试卷

1、设 $m \in R$ ，过定点A的动直线 $x + 2 + m (y - 7) = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则 $|P A| + |P B|$ 的取值范围是.

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2、为了解甲､乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 $A, B$ 两组，每组 $100$ 只，其中 $A$ 组小鼠给服甲离子溶液， $B$ 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同､摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记 $C$ 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到 $P (C)$ 的估计值为0.30.

(1)、求乙离子残留百分比直方图中 $a, b$ 的值；

(2)、求甲离子残留百分比的第 $75$ 百分位数；

(3)、估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）

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3、若扇形的面积为 $\frac{3}{8} π$ 、半径为1，则扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $\frac{3}{4} π$ C、 $\frac{3}{8} π$ D、 $\frac{3}{16} π$

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4、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和最值；

(2)、若 $a \leq 0$ ，且一次函数 $y = g (x)$ 的图象和曲线 $y = f (x)$ 相切于 $x = - 1$ 处，求函数 $g (x)$ 的解析式并证明： $g (x) \leq f (x)$ 恒成立．

(3)、若 $a = 1$ ，且函数 $h (x) = f (x) - t (x^{2} - x)$ 在 $x \in (\frac{1}{2}, 2)$ 上有两个极值点，求实数 $t$ 的取值范围．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，侧面 $P A D$ 是正三角形， $M$ 是棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥ D M$ ；

(2)、若二面角 $P - A D - B$ 为 $60^{\circ}$ ，求直线 $D M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与过点 $A (\frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$ ， $B (0, - \sqrt{10})$ 的直线有且只有一个公共点 $T$ ，且双曲线 $C$ 的离心率 $e = \sqrt{6}$ ．

(1)、求直线 $A B$ 和双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C$ 的左、右焦点， $M$ 为线段 $A F_{2}$ 的中点，求证： $∠ M T F_{2} = ∠ T F_{1} A$ ．

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c^{2} = a^{2} + b^{2} + a b$ ， $sin (C - B) = cos A$ ．

(1)、求角 $C$ 和角 $B$ ．

(2)、若边 $B C$ 上的高为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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8、已知曲线 $y = e^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 恰好与曲线 $y = a + ln x$ 相切，则实数 $a$ 的值为．

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9、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1}$ ，点 $M$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（不含端点），则（）

A、过点 $M$ 有且仅有一条直线与直线 $A C$ ， $B_{1} D_{1}$ 都垂直 B、过点 $M$ 有且仅有一条直线与直线 $A C$ ， $B_{1} D_{1}$ 都相交 C、有且仅有一个点 $M$ 满足 $△ M A C$ 和 $△ M B_{1} D_{1}$ 的面积相等 D、有且仅有一个点 $M$ 满足平面 $M A C ⊥$ 平面 $M B_{1} D_{1}$

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10、随机变量 $X$ ， $Y$ 分别服从正态分布和二项分布，且 $X \sim N (2, 1)$ ， $Y \sim B (4, 0.5)$ ，则（）

A、 $P (X \leq 0) = P (X \geq 4)$ B、 $P (Y \leq 0) = P (Y \geq 4)$ C、 $E (X) = E (Y)$ D、 $P (X \leq 2) = P (Y \leq 2)$

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，当 $x = 0$ 或 $x = 1$ 或 $x$ 是无理数时， $f (x) = 0$ ；当 $x = \frac{n}{m}$ （ $n < m$ ， $m$ ， $n$ 是互质的正整数）时， $f (x) = \frac{1}{m}$ ．那么当 $a$ ， $b$ ， $a + b$ ， $a b$ 都属于 $[0, 1]$ 时，下列选项恒成立的是（）

A、 $f (a + b) \leq f (a) + f (b)$ B、 $f (a + b) \geq f (a) \cdot f (b)$ C、 $f (a b) \geq f (a) + f (b)$ D、 $f (a b) \geq f (a) \cdot f (b)$

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12、函数 $f (x) = sin x - cos x cos (\frac{5 x}{2} + \frac{π}{4})$ 在区间 $(- π, 2 π)$ 上的所有零点之和为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、4

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13、已知底面半径为2的圆锥 $S O$ ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥 $S O$ 侧面积的比值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、480 B、240 C、120 D、15

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15、若过点 $(2 \sqrt{5}, 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的两条直线的夹角为 $α$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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16、已知 $z = - 1 - i$ ，则 $z (1 - i) =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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17、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 4 x - 5 < 0\}$ ，集合 $B = \{- 2, 0, 2, 4, 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 2, 4\}$ B、 $\{- 2, 10\}$ C、 $\{0, 2, 4\}$ D、 $\{2, 4\}$

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18、一般地，任何一个复数 $a + b i$ （a， $b \in R$ ）可以写成 $r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中r是复数的模， $θ$ 是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在 $0 \leq θ < 2 π$ 范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如 $\arg 1 = 0$ ， $\arg i = \frac{π}{2}$ ， $\arg (1 + \sqrt{3} i) = \frac{π}{3}$ .发现 $z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} (\cos θ_{1} + isin θ_{1}) \cdot r_{2} (\cos θ_{2} + isin θ_{2}) = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + isin (θ_{1} + θ_{2})]$ ，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1， $\sqrt{3}$ 的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为 $z_{n}$ .

(1)、写出一次操作后所有可能的复数；

(2)、当 $n = 2$ ，记 $|z_{n}|$ 的取值为X，求X的分布列；

(3)、求 $z_{n}^{2}$ 为实数的概率 $Q_{n}$ .

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆C的方程为： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (1, 0)$ ， B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.

(1)、求点T的轨迹W的方程；

(2)、已知点 $A (- 2, 0)$ ，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线 $x = 3$ 交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数.

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20、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $C P = C A = C B$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $∠ A C B$ 为钝角，且二面角 $B - P A - C$ 的大小为 $45^{°}$ ，求 $\cos ∠ A C B$ .

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