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相关试卷

1、某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动. $A$ 处有一栋大楼，某学生选 $B$ ， $C$ 两处作为测量点，测得 $B C$ 的距离为 $50 m$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ B C A = 105 °$ ，在 $C$ 处测得大楼楼顶 $D$ 的仰角 $α$ 为75°.

(1)、求 $A C$ 两点间的距离；

(2)、求大楼的高度.

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2、如图所示，在正六棱锥 $S - A B C D E F$ 中，O为底面中心， $S O = 8$ ， $O B = 4$ ．

(1)、求该正六棱锥的体积和侧面积；

(2)、若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上，求球M的表面积和体积．

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3、已知向量 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 1$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 6$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| \vec{a} + 4 \vec{b} |$ 的值.

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4、《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A C ⊥ B C, A A_{1} = A C = 1$ ，当“阳马”即四棱锥 $B - A_{1} A C C_{1}$ 体积为 $\frac{1}{3}$ 时，则“堑堵”即三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为．

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5、如图所示，直观图四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是.

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6、已知数 $z i=3+i$ （ $i$ 为虚数单位），且 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $|\bar{z}| =$ ．

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = 5$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为10 C、若 $a = 2 b \cos C$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $b = 6$ ， $a = 2 c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则三角形面积 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$

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8、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // n$ ， $m / / α$ ，则 $n // α$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m$ ， $n$ 是异面直线 D、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ 或 $m$ ， $n$ 是异面直线

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9、已知 $\vec{a} = (5, 2)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{b} ⊥ \vec{a}$ ，则 $m = - \frac{5}{2}$ B、若 $\vec{b} // \vec{a}$ ，则 $m = \frac{2}{5}$ C、若 $| \vec{b} | > | \vec{a} |$ ，则 $m > 2 \sqrt{7}$ D、若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 夹角为锐角，则 $m > - \frac{5}{2}$

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10、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 ${sin}^{2} B + {sin}^{2} C - {sin}^{2} A = sin B sin C$ ，且 $b cos C + c cos B = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11、在正方体中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 四点共面的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 2 \sqrt{2}, b = 2, A = \frac{π}{4}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (t, 1), \vec{b} = (t + 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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14、如图，已知在圆柱 $O O_{1}$ 中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段 $B C$ 为圆O的直径， $A_{1}$ ， $B_{1}$ 为圆柱上底面上的两点，且矩形 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， D，E分别是 $A A_{1}$ ， $C B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E ∥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、若 $△ B_{1} B C$ 是等腰直角三角形，且 $D E ⊥$ 平面 $C B B_{1}$ ，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C$ 的夹角的正弦值．

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15、已知椭圆 $T : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为 $T$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，若 $|P F_{1}| |P F_{2}| = \frac{4 b^{2}}{3}$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆 $T$ 的离心率 $e =$ ．

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16、将棱长为4的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为．

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17、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ ，若把函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上有2个零点

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18、已知在正四面体 $O A B C$ 中， $O A = 1$ ，则直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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19、某城市运动会的组委会安排甲､乙等5名志愿者去足球､篮球､排球､乒乓球4个比赛场馆从事志愿者活动，每人只去一个场馆，若排球场馆必须安排2人，其余场馆各安排1人，则不同的方案种数为（）

A、48 B、52 C、60 D、68

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20、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5} = 15$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $- 10$ B、 $- 3$ C、10 D、3

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