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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{cases} a_{n} + 2, n 为奇数, \\ 2 a_{n}, n 为偶数 . \end{cases}$

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n} + 2$ ，求 $b_{1}, b_{2}$ ，并证明数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、记 $c_{n} = a_{2 n} + 3$ ，求满足 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < 100$ 的所有正整数 $n$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2 x} + ln x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、记 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线方程.

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3、设点 $P (x, y)$ 在“笑口”型曲线 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} + |y - \frac{5}{2}| = \frac{7}{2}$ 上，则 $x^{2} + 2 y^{2} - 5 y$ 的最小值为.

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4、已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ，则 $f (x)$ 的值域为.

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B + c sin C - a sin A = \sqrt{2} b sin C$ ，则 $A =$ .

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = e^{a_{n} - 2} + 1$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 B、 $\exists n \in N^{*}, a_{n} > 2$ C、 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} < \frac{1}{2} a_{n}^{2} - a_{n} + 2$ D、 $\forall n \in N^{*}, a_{n} \leq \frac{2 n - 1}{n}$

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7、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} \cdot sin x \cdot ln (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(2, 3)$ 内存在零点 B、0是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内存在极大值 D、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上单调递减

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8、在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则（）

A、这组分值的极差变小 B、这组分值的均值变大 C、这组分值的方差变小 D、这组分值的第75百分位数不变

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9、已知 $△ A B C$ 的两个内角 $A, B (A \neq B)$ 都是关于 $x$ 的方程 $cos 2 x + 2 m cos x + 2 m^{2} - \frac{1}{2} = 0$ 的解，其中 $- 1 < m < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $A, B$ 在 $Γ$ 的右支上，且 $|A B| = 6$ ，则 $|F A| + |F B|$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、10 D、14

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11、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + λ e^{2 x}}$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $f (x)$ 是偶函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递增 B、当 $λ = 1$ 时， $f (x)$ 是奇函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 C、当 $λ = - 1$ 时， $f (x)$ 是偶函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 D、当 $λ = - 1$ 时， $f (x)$ 是奇函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递增

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12、将函数 $y = sin 2 x$ 的图象向左平移 $φ$ 个单位后得到函数 $y = cos 2 x$ 的图象，则 $φ$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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13、直线 $x = 2$ 被圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 截得的弦长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{7}$ D、7

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15、 $\frac{1}{1 + i} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$

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16、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 3}, B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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17、设 $n \in N^{*}$ ，已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，且 $a_{1} = 1$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项所构成的集合为 $A_{n} = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ，对于任意正整数n，从集合 $A_{n}$ 中任取不同的若干项(取出的项数大于等于1，如果项数是1，运算结果是它本身)，如果这些项之间进行加法或减法运算后所得的数的绝对值所构成的正整数集合为 $B_{n}$ ，且 $B_{n} = \{1, 2, \dots, a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}\}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为完美数列.

(1)、分别判断数列 $a_{n} = n$ 和 $b_{n} = n^{2}$ 是否为完美数列，不需要说明理由；

(2)、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 是完美数列，求 $\{a_{n}\}$ 公差的所有可能取值；

(3)、若从集合 $A_{n}$ 中任取不同的若干项之间进行加减法运算后所得的数的绝对值互不相同，且 $\{a_{n}\}$ 为完美数列.证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} + 1} < 1$

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > b > 0)$ 的短轴长为2，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，设点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆在第一象限内一点．

(1)、求椭圆方程；

(2)、设椭圆的左顶点为A，下顶点为 $B$ ，线段 $A P$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，线段 $B P$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，若 $△ P A B$ 的面积是 $△ P C D$ 的6倍，求 $P$ 点的坐标；

(3)、点 $P$ 关于原点的对称点为 $Q$ ，点 $R (x_{0}, 0)$ ，点 $T$ 为 $P R$ 中点， $Q T$ 的延长线交椭圆于点S，当 $∠ Q P S$ 最大时，求直线 $P Q$ 方程．

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} + a ln (x + 1)$ .

(1)、当 $a = - 4$ 时，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若 $f (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，证明： $f (x_{0}) + x_{0}^{2} \leq 0$ .

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20、如图，已知四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $E$ 为以 $B C$ 为直径的半圆弧上一点，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $B C E$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $M$ 为 $C E$ 的中点， $B E = A B = A D = D C = 3$ ， $B C = 6$ .

(1)、求证 $D M / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $D C E$ 的夹角的余弦值.

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