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相关试卷

1、已知 $a = e^{- 1}, b = {log}_{2} \sqrt{2}, c = x^{2} - x + 1, (x \in R)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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2、记函数 $f (x) = {log}_{2} x - \frac{3}{x}$ 的零点为 $x_{0}$ ，则 $x_{0} \in$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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3、命题“ $\exists x \in R, x^{2} > x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} \leq x$ B、 $\forall x \in R, x^{2} < x$ C、 $\exists x \notin R, x^{2} \leq x$ D、 $\exists x \in R, x^{2} < x$

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4、 $cos (- 1050^{\circ}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5、已知全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $A = \{x \in Z| x^{2} \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, 2\}$

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6、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 4, A A_{1} = 6$ ， E，F分别是棱 $A D, A A_{1}$ 的中点，点G在棱 $D D_{1}$ 上，则下列说法正确的是（）

A、存在点G，使得 $E F ⊥ B G$ B、点B到平面CEF的距离是 $\frac{24 \sqrt{61}}{61}$ C、存在点G，使得 $B G ⊥$ 平面CEF D、过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 $\frac{625 π}{41}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4, \sin C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上， $A D = 3, B D = \sqrt{19}$ ，则 $B C =$ （）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、6

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8、帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数 $m, n$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似定义为： $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \cdot \cdot \cdot + b_{n} x^{n}}$ ，且满足： $f (0) = R (0)$ ， $f^{'} (0) = R^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = R^{″} (0)$ ， ……， $f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ，注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ， $f^{'''} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}$ ， $f^{(4)} (x) = {[f^{'''} (x)]}^{'}$ ， $f^{(5)} (x) = {[f^{(4)} (x)]}^{'}$ ， …….已知 $f (x) = ln (x + 1)$ ， $g (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{6 + 4 x}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[2, 1]$ 阶帕德近似为函数 $g (x)$ ，求实数 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、若 $c = 0$ ，设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ， $x = 0$ 是 $h (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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9、已知 $O$ 为坐标原点，点 $M$ ， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上不同的三点，其中 $M (2, 2)$ ，点 $A$ 在第一象限，直线 $A B$ 与 $O M$ 平行，直线 $A O$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ，直线 $A M$ 与直线 $O B$ 交于点 $Q$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的准线方程；

(2)、求直线 $P Q$ 的方程；

(3)、求 $\frac{| B P |}{| B Q |}$ 的最小值．

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10、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 为 $D D_{1}$ 中点， $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上， $M N / / A B / / A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求证：平面 $A B N M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} N M$ ；

(2)、求平面 $A B N M$ 与平面 $A M B_{1}$ 所成锐二面角的正弦值．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若对于任意的 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ ，都有 $x^{2} f (x) \leq a x - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．
参考数据： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} a_{4} = a_{2}^{2}$ ， $a_{1} + a_{2} = 3$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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13、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + \frac{m}{2})}^{2} = 3 + \frac{m^{2}}{4}$ ，两圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B C_{2}$ 面积的最小值为．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{3} =$ ．

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15、函数 $f (x) = sin x + 1$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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16、已知双曲线 $E : 4 x^{2} - y^{2} = n^{2} (n \in N^{*})$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过点 $F$ ，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ （从左到右），则下列说法正确的是（）

A、当 $n = 2$ 时，其中一条渐近线方程为 $y = 2 x$ B、存在 $n \in N^{*}$ ，存在直线 $l$ ，使得点 $B$ 为线段 $C F$ 的中点，且 $∠ O B A = 90^{\circ}$ C、任意 $n \in N^{*}$ ，存在直线 $l$ ，使得点 $B$ 为线段 $D F$ 的中点，且 $∠ O B A = 90^{\circ}$ D、任意 $n \in N^{*}$ ，无论直线 $l$ 怎么运动， $|A B| = |C D|$

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17、已知直线 $l : x + m y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - m)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 经过定点 $A (1, 0)$ B、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，则 $|M N|$ 的最大值为2 C、存在实数 $m$ ，使得直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 D、若 $C$ 上存在四个不同的点，到直线 $l$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m$ 的范围是 $(\frac{- 4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$

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18、正项数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为3， $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ． $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 27$ B、 $S_{1}$ ， $S_{2} - S_{1}$ ， $S_{3} - S_{2}$ 成等比数列 C、 $S_{n} = 3^{n + 1} - 3$ D、数列 $\{{log}_{3} a_{n}\}$ 是公差为1的等差数列

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19、已知函数 $f (x) = \frac{{log}_{a} x}{x^{a}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）存在最小值 $M (a)$ ，当 $a$ 变化时， $M (a)$ 有（）

A、最大值 B、最小值 C、既有最大值，又有最小值 D、以上说法都不正确

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $F$ ，且与 $x$ 轴垂直，交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，已知 $△ A M N$ 的周长为 $6 |A F|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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