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相关试卷

1、下列说法中正确的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = |x|$ 表示同一个函数 B、 $f (x) = x^{2} + 2 |x| - 3$ 为偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{1 - x^{2}}$ 既是奇函数，又是偶函数 D、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[2, 3]$

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2、已知 $a, b, c, d \in R$ ，且 $a > b, c > d > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a c > b d$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $a + 2 c > b + 2 d$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + 1, x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上既有最大值，又有最小值，则 $b - a$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对 $\forall x \in R$ ， $f (x) + x f (- x) = x^{2}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{9}{5}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、2

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5、已知实数 $a > 0$ ，且“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”的一个必要不充分条件是“ $|x| < a$ ”，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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6、已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递增且存在最大值为 $M$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, - 1]$ 上（）

A、单调递增且最大值为 $M$ B、单调递增且最小值为 $- M$ C、单调递减且最大值为 $M$ D、单调递减且最小值为 $- M$

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7、函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{|x|}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8、命题“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 3 x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 3 x > 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 3 x \leq 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 3 x \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 3 x > 0$

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9、已知集合 $A = \{x ∣ - 2 \leq x^{3} \leq 3\}, B = {- 3, - 1, 0, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 3}$ B、 ${- 1, 0}$ C、 ${- 1, 0, 2}$ D、 ${- 3, - 1, 0}$

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10、已知空间中三点 $A (0, 1, 0), B (2, 2, 0), C (- 1, 3, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{A C}| = \sqrt{6}$ B、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 是共线向量 C、 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 夹角的余弦值是1 D、与 $\vec{B C}$ 同向的单位向量是 $(- \frac{3 \sqrt{11}}{11}, \frac{\sqrt{11}}{11}, \frac{\sqrt{11}}{11})$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项是1，其前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若存在实数 $λ$ ，使得关于 $n$ 的不等式 $λ + S_{n} \leq 25 n$ ， $n \in N^{*}$ 有解，求实数 $λ$ 取到最大值时 $n$ 的值.

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12、现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记 $A_{i} (i = 1, 2, 3)$ 表示第 $i$ 号箱子有奖品， $B_{j} (j = 2, 3)$ 表示主持人打开第 $j$ 号箱子.则下列说法正确的是（）

A、 $P (B_{3} ∣ A_{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A_{1} ∣ B_{3}) = \frac{1}{3}$ C、若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D、若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变

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13、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}, |O A| = |A B|$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$

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14、双曲线的另一种定义：动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (c, 0)$ 的距离和它与定直线 $l$ ： $x = \frac{a^{2}}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a} (0 < a < c)$ ，则点 $M$ 的轨迹是一个双曲线.动点 $M$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和它与定直线 $l$ ： $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是 $\sqrt{3}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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15、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

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16、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ B = 45^{\circ}, A B = 3 \sqrt{2}, B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = \frac{1}{6} \vec{B C}$ ，若 $M, N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $|\vec{M N}| = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的取值范围为.

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17、定义两种新运算“ $\oplus$ ”与“ $\otimes$ ”，满足如下运算法则：对任意的 $a, b \in R$ ，有 $a \oplus b = a b$ ， $a \otimes b = a^{b} + 1$ .设全集 $U = \{x |x = a \oplus b + a \otimes b, 0 < a \leq b < 3$ 且 $a \in Z, b \in Z\}$ ， $A = \{x |4 (a \oplus b) + \frac{a \otimes b}{b}, 0 < a < b < 3$ 且 $a \in Z, b \in Z\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 3 x + m = 0\}$ .

(1)、求集合 $U$ ；

(2)、求集合 $A$ ；

(3)、集合 $A, B$ 是否能满足 $(∁_{U} A) \cap B = \emptyset$ ？若能，求出实数 $m$ 的取值范围；若不能，请说明理由.

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18、已知 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数，且 $f (0) = 0$ ， $f (1) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的值域.

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19、已知全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - 4 = 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0\}$ .

(1)、求 $A \cap B$ 和 $A \cup B$ ；

(2)、已知 $C = ∁_{U} A$ ，写出集合 $C$ 的所有非空子集.

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[a - 5, 2 a - 1]$ 上的偶函数，当 $0 \leq x \leq 2 a - 1$ 时， $f (x) = x - \frac{3}{x + 1}$ ，若 $f (m - 2) > 1$ ，则实数m的取值范围是.

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