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相关试卷

1、已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6})$ ，下列选项正确的有（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ ，则 $ω = 4$ ； B、当 $ω = 2$ 时，函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后得到 $g (x) = \cos 2 x$ 的图象； C、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{5}{3}, \frac{11}{6}]$ ； D、若 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}]$ ；

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，定义 $S (i, j) = a_{i} + a_{i + 1} + \dots + a_{j}$ ，其中i， $j \in N^{*}$ 且 $i < j .$

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1$ ，求 $S (1, 3)$ 和 $S (4, 6);$

(2)、若 $a_{n} = 2^{n}$ ，证明：对于 $\forall i, j, u, v \in N^{*}$ 且 $i < j$ ， $u < v$ ， $i \neq u$ ，都有 $S (i, j) \neq S (u, v);$

(3)、对于 $k = 3$ ， 4， $\dots$ ， n，设 $T_{k} = {b_{k} | b_{k} = λ_{1} a_{1} + \dots + λ_{n} a_{n} ， λ_{i} \in \{0, 1\} ， S (1, k - 1) < b_{k} \leq S (1, k)} .$ 若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，求证： $T_{k}$ 中至少有两个不同的元素，且 $T_{k}$ 中最大元素与最小元素之比小于 $2.$

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3、双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为 $(- \sqrt{5}, 0)$ ，过A点的两条直线分别交双曲线 $Γ$ 的右支于点P，Q，且 $k_{A P} \cdot k_{A Q} = - \frac{1}{8} .$

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、（ⅰ）证明：直线PQ过定点；
（ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线 $x = 8$ 于点M，N，T，若 $S_{△ P M T} = S_{△ Q N T}$ ，求PQ的直线方程.

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4、已知函数 $f (x) = a ln x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 4 - \frac{2}{a} - a^{2}$ ．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，其中 $A D ⊥ B D$ ， $P A = P D = A D = B D = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ ，点 $F$ 为棱 $P D$ 上一点.

(1)、当 $F$ 为 $P D$ 的中点时，证明： $A F ⊥ B P$ ；

(2)、若直线 $A F$ 与平面 $P D C$ 的所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求 $P F$ 的大小.

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6、记锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $cos (B - A) = cos A + cos C .$

(1)、求B的大小；

(2)、若 $sin A$ ， $sin B$ ， $sin C$ 成等差数列，且 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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7、某学校篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第5次传球后球在队员甲手中的概率为.

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8、“米升子”是一种古代专司量米的量器，其形状是上大下小的正四棱台.将“米升子”装满后用手指或筷子沿升子口刮平叫“平升”.现有一“米升子”的缩小模型，上、下两面正方形的边长分别为5 cm和3cm，侧面与上面的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则该“米升子”模型“平升”的容积为 ${cm}^{3} .$

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9、在 ${(\frac{1}{x} + 2 x)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数为（用数字作答）.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{a_{n}} + a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{4} = \frac{8}{3}$ B、 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} > 2 \sqrt{n + 1} - 2$ C、 $a_{2024} > 45$ D、 $a_{2025} > 45$

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11、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x + \sqrt{3} cos 2 x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 3 ， 1]$ B、函数 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ C、若函数 $y = f (ω x) (ω > 0)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{1}{6}]$ D、设 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数，则方程 $f^{'} (x) = \frac{3}{2} x - \frac{π}{8}$ 恰有4个不同的实数解

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12、已知随机事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2} .$ 事件A，B的对立事件分别为 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ B、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ C、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则 A，B相互独立 D、 $P (A | B) + P (\bar{A} | B) = P (B)$

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13、已知 $x \in (0, 1)$ ， $y \in (0, + \infty)$ ，满足 $y^{2} + \frac{4}{y^{2}} + 2 y cosπ x - \frac{4 sinπ x}{y} = 0$ ，则xy的值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x - 2} + 1 ， x \leq 2 ， \\ - {(x - 2)}^{2} + 4 a ， x > 2 \end{array} （ a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在R上为单调函数.若方程 $f^{2} (x) - 4 |f (x)| + 3 = 0$ 有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ C、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ D、 $(\frac{1}{4}, 1)$

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15、若存在实数a，使得直线 $a x + y + b = 0$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切，则实数b的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [0, + \infty)$

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16、已知随机变量 $X \sim N (2 ， 1^{2})$ ， $P (X \geq 3) = a$ ，则 $P (1 < X < 2) =$ （）

A、a B、 $\frac{1}{2} - a$ C、 $1 - a$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} a$

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17、已知 $a, b$ 为实数，条件 $p$ ： $a > |b|$ ，条件 $q$ ： $a > b$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知向量 $\vec{a} = (1 ， \frac{1}{x})$ ， $\vec{b} = (2 ， x) .$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $x =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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19、若复数 $z$ 满足 $z = (1 + i) (2 + i)$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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20、若全集 $U = {x | 0 \leq x \leq 4 ， x \in Z}$ ， $A = \{0 ， 1 ， 2\}$ ， $B = \{2 ， 3\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{3 ， 4\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{2 ， 3\}$

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