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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x + \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的对称中心和单调递减区间；

(3)、若 $f (\frac{θ}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，求 $cos (2 θ + \frac{π}{6})$ 的值．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $cos 2 A = cos B cos C - sin B sin C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、已知 $a = 6, c = 2 \sqrt{3}$ .求 $△ A B C$ 的面积.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，其面积为 $S$ ，已知 $a = 4 c \cos B$ ，则（1） $\frac{\tan C}{\tan B} =$ ；（2） $\frac{S}{b^{2}}$ 的最大值为．

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ 的定义域为 $(0, 2 π)$ ，若 $|f (x)| = 2$ 有且仅有两个解，则 $ω$ 的取值范围为．

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5、如图，直线 $y = 1$ 与函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (|φ| \leq \frac{π}{2})$ 的部分图象交于 $A, B, C$ 三点（点 $A$ 在 $y$ 轴上），若 $|B C| = \frac{π}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = 2$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象 D、当 $x \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \in [- 2, 1]$

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6、已知复数 $z = 3 - 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = 5$ B、复数 $\frac{1}{z}$ 的虚部为 $- \frac{4}{25}$ C、若 $z$ 对应的向量为 $\vec{O A}, 1 + i$ 对应的向量为 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 2 + 5 i$ D、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q = 19$

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，点O是BC的中点， $\vec{A C} = 3 \vec{M C} = 4 \vec{N C}$ ，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若 $\vec{A B} = - 2 a \vec{P Q}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、－2 D、－1

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8、已知角 $θ$ 的终边上有一点 $(1, 2)$ ，则 $\frac{sin (π - θ) + cos (\frac{π}{2} - θ)}{cos (- θ) - cos (π + θ)} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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9、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = 2 \sqrt{2}, B = \frac{π}{4}$ 的三角形有两个，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2 \sqrt{2})$ B、 $(2 \sqrt{2}, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2, 2 \sqrt{2})$

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10、伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过 $\frac{12}{7} h$ ，时针的针尖走过的路程约为（）

A、 $0.4 πm$ B、 $0.6 πm$ C、 $0.8 πm$ D、 $0.9 πm$

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11、复数 $z = \frac{2}{i + 1}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x}{a + \ln x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若方程 $f (x) = \frac{1}{a}$ 有且只有一个实数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、有 $A$ ， $B$ 两道谜语，张某猜对 $A$ 谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对 $B$ 谜语的概率为0.5，猜对得奖金 $x$ 元.

(1)、猜两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率；

(2)、若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求 $x$ 的值，使得张某先猜谜语 $A$ 和先猜谜语 $B$ 所获得的奖金期望相同.

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14、函数 $f (x) = x^{3} + a x + b (a, b \in R)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线分别记为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线与 $l_{2}$ 交于点 $C$ ，则 $\frac{|A C|}{{|x_{1} - x_{2}|}^{3}} =$ .

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15、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ 在 $B C$ 边上且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A E}$ ，并求线段 $A E$ 的长；

(2)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $μ = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos ∠ E A F$ 的值.

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16、已知 $m \in R$ ，复数 $z_{1} = (m^{2} + m) + (m^{2} - 1) i$ ， $z_{2} = 2 m + i$ .

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第三象限，求 $m$ 的取值范围；

(2)、设 $O$ 为坐标原点， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $A$ ， $B$ （不与 $O$ 重合），若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，求 $| z_{1} - \bar{z_{2}} |$ .

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17、如图，菱形 $A B C D$ 的边长为6， $\vec{D E} = \frac{1}{4} \vec{D C}$ ， $\vec{C F} = \frac{3}{4} \vec{C B}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围为．

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18、如图，某直径为 $5 \sqrt{5}$ 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里， $\cos ∠ B A D = - \frac{4}{5}$ .则小岛B与小岛D之间的距离为海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为平方海里.

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19、在以 $O$ 为顶点的三棱锥中，过 $O$ 的三条棱两两的交角都是 $30 °$ ，在一条侧棱上有 $A$ ， $B$ 两点， $O A = 4$ ， $O B = 3$ ，以 $A$ ， $B$ 为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在 $A$ ， $B$ 之间的最短绳长为.

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20、已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - 1) (a > 0, a \neq 1)$ ， $g_{1} (x) = f (|x|)$ ， $g_{2} (x) = |f (x)|$ ， $g_{3} (x) = |f (|x|)|$ ，下列选项中正确的有（）

A、函数 $g_{1} (x)$ 、 $g_{2} (x)$ 、 $g_{3} (x)$ 都是偶函数 B、若 $g_{1} (x_{1}) = g_{1} (x_{2}) = a$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{2} - x_{1} > 4$ C、若 $g_{2} (x_{1}) = g_{2} (x_{2}) = a$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}}$ + $\frac{1}{x_{2}}$ =1 D、若 $g_{1} (x_{1}) = g_{3} (x_{2}) = g_{2} (x_{3}) = g_{3} (x_{4}) (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} = 0$

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