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相关试卷

1、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 $69.800$ 分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90 °$ 、 $180 °$ 、 $270 °$ 后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 4$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{1}{2}$ D、阴影区域的面积大于4

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2、如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ 是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（）

A、甲从M到达N处的方法有15种 B、甲从M必须经过 $A_{3}$ 到达N处的方法有6种 C、甲、乙两人在 $A_{3}$ 处相遇的概率为 $\frac{81}{225}$ D、甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为 $\frac{81}{225}$

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3、若 $b > a > 1$ ，则（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{b} > {(\frac{1}{2})}^{a}$ B、 $a b + 1 > a + b$ C、 ${log}_{a} b > 1$ D、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$

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4、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象是由曲线 $y = \sin x$ 上各点的横坐标变为原来的2倍后，再向左平移 $φ (0 < φ < π)$ 个单位长度后所得，则 $f (φ) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5、若直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 相切，则m的值为（）

A、21或 $- 1$ B、 $- 21$ 或1 C、5或 $- 15$ D、 $- 5$ 或15

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6、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{15}$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{11}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、5

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7、已知复数 $z = 1 - \frac{1}{i}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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8、将函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上的点 $A (\frac{π}{4}, t)$ 向左平移 $s (s > 0)$ 个单位长度得到点 $B$ ，若 $B$ 在函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上，则 $s$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9、聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.

(1)、求一个问题的应答被采纳的概率；

(2)、在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为 $X$ ，事件 $X = k$ （ $k = 0, 1, \dots, 8$ ）的概率为 $P (X = k)$ ，求当 $P (X = k)$ 最大时 $k$ 的值.

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10、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左焦点 $F_{1} (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 且斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M O N > \frac{π}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围.

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11、如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B）， $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B P}$ ， $\vec{C D} = λ \vec{C P} (0 < λ < 1)$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，证明： $A D / /$ 平面OCE；

(2)、若 $P A = A B = 2 B C = 4$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面PBC，求λ的值．

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12、平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的．方格纸上两条直线的交点称为格点．右图每个小正方形的边长为 $1$ ，假设方格纸足够大，已知一只蚂蚁从格点 $O$ 出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为 $1$ ，则蚂蚁移动 $6$ 次回到出发点 $O$ 的不同方法总数为（用数字作答）．

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13、已知函数 $f (x) = sin (ω x + α) + cos (ω x + β) (ω > 0)$ ，若存在 $0 < α$ ， $β < π$ 使得 $f (α) f (β) = 4$ ，则 $ω$ 的最小值为.

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14、已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点，直线 $l : y = \frac{4}{3} x$ 与双曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点， $\vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B} = 0$ ． $M$ 为双曲线 $E$ 上异于 $A, B$ 的点，且 $M A, M B$ 与坐标轴不垂直，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} M F_{2}$ 平分线的垂线，垂足为 $N$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $E$ 的离心率为 $2 \sqrt{5}$ B、双曲线 $E$ 的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ C、直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之积为4 D、若 $|O N| = 1$ ，则 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为4

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15、过曲线 $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 1$ 上一点 $P$ 作直线 $x = - 1$ 的垂线，垂足为 $H$ ，将点 $H$ 绕 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到点 $Q$ ， $A (1, 3)$ ，则 $|Q A| + |Q P|$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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16、记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = S_{5}$ ， $a_{2} a_{4} = S_{4}$ ，则使 $S_{n} < a_{n}$ 成立的 $n$ 的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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17、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x^{2} + 3 x + 1, x \leq 0 \\ |{l o g}_{2} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = f (x) + b$ 有四个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且满足： $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ .则下列结论中不正确的是（）

A、 $- 1 < b < 0$ B、 $x_{3} x_{4} = 1$ C、 $\frac{1}{2} \leq x_{3} < 1$ D、 $x_{1} + x_{2} = - \frac{3}{2}$

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18、复数 $z = (2 - i) i^{2025}$ 的实部与虚部之和为（）

A、1 B、2 C、3 D、2025

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19、 $A = \{x \in N| x 是不大于 5 的奇数\}$ ， $B = \{- 3, 2, 3\}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 3, 1, 3, 5\}$ B、 $\{- 3, 1, 2, 3\}$ C、 $\{- 3, 1, 2, 3, 5\}$ D、 $\{3\}$

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20、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (k = 1, 2, \dots)$ ，定义“ $F_{θ}$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F_{θ} (\vec{a_{k}}) = (x_{k} cos θ - y_{k} sin θ, x_{k} sin θ + y_{k} cos θ)$ ，（ $0 < θ < π$ ）

(1)、若向量 $\vec{a_{1}} = (2, 1)$ ， $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a_{2}}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 不平行， $\vec{O A^{'}} = F_{θ} (\vec{O A})$ ， $\vec{O B^{'}} = F_{θ} (\vec{O B})$ ，证明： $⟨\vec{O A^{'}}, \vec{O B^{'}}⟩ = ⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩$ ；

(3)、若向量 $\vec{a_{4}} = \vec{a_{1}}$ ，求 $θ$ ．

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