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相关试卷

1、已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的所有棱长都为 $6$ ，点 $E$ 在侧棱 $S C$ 上，过点 $E$ 且垂直于 $S C$ 的平面截该棱锥，得到截面多边形 $H$ ，则 $H$ 的边数至多为， $H$ 的面积的最大值为．

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2、如图，一条河两岸平行，河的宽度为 $400m$ ，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为 $5km/h$ ，水流速度的大小为 $3km/h$ ，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 $\min$ ．

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3、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = a + b i, a, b \in R, z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的向量分别为 $\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}$ ，其中O为原点，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{O Z_{1}} // \vec{O Z_{2}}$ ，则 $a + b = 0$ B、若 $\vec{O Z_{1}} // \vec{O Z_{2}}$ ，则 $\frac{z_{2}}{z_{1}} \in R$ C、若 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，则 $a = b$ D、若 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，则 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$

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4、设A，B易两个随机事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若A，B是互斥事件，则 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ C、若A，B是相互独立事件，则 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ D、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则A，B是相互独立事件

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5、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆圆心， $O A = 2, ∠ B A C = 45 °$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6、已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线 $S A$ 与 $S B$ 互相垂直， $△ S A B$ 的面积为2， $S A$ 与圆锥底面所成的角为 $30 °$ ，则（）

A、圆锥的高为 $\sqrt{2}$ B、圆锥的侧面积为 $3 π$ C、二面角 $S - A B - O$ 的大小为 $45^{\circ}$ D、圆锥侧面展开图的圆心角为 $120^{\circ}$

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7、如图， $A, B$ 是海面上位于东西方向相距 $(3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于A点北偏东 $45 °$ 、B点北偏西 $60 °$ 的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西 $60 °$ 且与B点相距 $4 \sqrt{3}$ 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（）

A、0.2小时 B、0.3小时 C、0.5小时 D、1小时

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A E // B C_{1}$ B、 $A E ⊥ B_{1} C$ C、 $B D_{1} //$ 平面 $A C E$ D、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C E$

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9、已知 $l$ 是一条直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平而，则下列命题正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $l // α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l // β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $α // β$ ，则 $l ⊥ β$

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10、从 $1 ~ 30$ 这 $30$ 个正整数中随机选择一个数，则这个数既不能被 $2$ 整除也不能被 $3$ 整除的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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11、有一组数据按从小到大排序如下：70，71，73，75，76，则这组数据的40%分位数，70%分位数分别是（）

A、71，74 B、71，75 C、72，74 D、72，75

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12、已如复数 $z = \frac{3 + 4 i}{1 - 2 i}$ ，则 $z$ 的实部是（）

A、 $- 1$ B、2 C、3 D、5

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13、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为M，区间 $I \subseteq M$ ，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in I$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，记 $Δ x = x_{2} - x_{1}$ ， $Δ y = f (x_{2}) - f (x_{1})$ ．若 $Δ y + Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在I上具有性质A；若 $Δ y - Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在I上具有性质B：若 $Δ y \cdot Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在I上具有性质C；若 $\frac{Δ y}{Δ x} > 0$ ，则称 $f (x)$ 在I上具有性质D．

(1)、记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件，
则 $f (x)$ 在I上单调递增是 $f (x)$ 在I上具有性质A的________（填正确选项的序号）：
$f (x)$ 在I上单调递增是 $f (x)$ 在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）；
$f (x)$ 在I上单调递增是 $f (x)$ 在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）；

(2)、若 $f (x) = a {(x + 1)}^{2} - 1$ 在 $[1, + \infty)$ 满足性质B，求实数a的取值范围；

(3)、是否存在m， $n \in R$ ，使得函数 $g (x) = \frac{2}{| x - 1 |}$ 在区间 $[m, n]$ 上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值．

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14、2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，统计结果如图所示．

(1)、试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；

(2)、从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在 $[90, 100]$ 的人数为X，试求X的分布列和均值：

(3)、以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，经计算 $σ^{2} = 42.25$ ．若 $μ - σ < X \leq μ + 3 σ$ ，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若 $X > μ + 3 σ$ ，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ；

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15、如图，多面体 $A B C D E$ 中，直角梯形 $A B C D$ 所在平面与正三角形 $A B E$ 所在平面垂直， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B = A D = 2 C D = 4$ ．

(1)、求该多面体的体积V；

(2)、在棱 $B C$ 上是否存在点P，使得直线 $P E$ 和平面 $A D E$ 所成的角大小为 $30 °$ ？若存在，求出 $\frac{B P}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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16、某城市地铁将于2024年5月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度统计数据如下表：
月收入
（单位：百元）
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75]$
赞成定价者人数
2
2
4
5
3
4
认为价格偏高者人数
4
8
9
6
2
1

(1)、若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，分别求出参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入；

(2)、根据以上统计数据填下面 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？
对地铁定价的态度
人均月收入
合计
不低于55百元的人数
低于55百元的人数
认为价格偏高者
赞成定价者
合计
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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17、在① $a = b \cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B$ ， ② $2 b \cos B = c \cos A + a \cos C$ 这两个条件中任选一个补充在下面的横线中，并解答．
已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．

(1)、求角B的大小；

(2)、若a，b，c成等差数列，判断 $△ A B C$ 的形状并加以证明．

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (x + 3)$ 为奇函数；当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = k \cdot 2^{x} + b (k, b \in R)$ ．若 $f (2024) = 2$ ，则 $\sum_{i = 0}^{2024} (2 i + 1) f (\frac{2 i + 1}{2}) =$ ．

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19、若复数z是关于x的方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的一个根，则复数z可以是．（写出满足条件的一个即可）

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20、已知随机变量X服从二项分布 $X ~ B (8, \frac{1}{2})$ ，且随机变量Y服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ．若 $P (Y \geq E (X)) = 0.2$ ，则 $P (Y \geq 0) =$ ．

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对地铁定价的态度	人均月收入		合计
对地铁定价的态度	不低于55百元的人数	低于55百元的人数	合计
认为价格偏高者
赞成定价者
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879