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相关试卷

1、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 60$ ，则 $a_{2} + a_{8}$ 的值为（）

A、15 B、20 C、30 D、40

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2、设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $D (2, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点，直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .

(1)、求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；

(2)、直线 $A B$ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极小值，且极小值大于 $(1 - \frac{1}{2} e^{2}) a$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形， $C D = \sqrt{2} A D$ ， $P A = P B$ ， E，M，Q，N分别为线段AB，CD，BC，PD的中点，平面 $P A B ⊥$ 底面ABCD.求证：

(1)、 $P E //$ 平面AMN；

(2)、平面 $Q M N ⊥$ 平面AMN.

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5、已知函数 $f (x) = \log_{a} x (a > 0 且 a \neq 1)$

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 16]$ 上的最大值是 $2$ ，求实数a的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{x^{2} - 2 x + a}$ 的值域为 $[2, + \infty)$ ，求不等式 ${log}_{a} (1 - t) \leq 1$ 的实数t的取值范围．

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6、已知直线 $k x - y - 1 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则实数 $k =$ ．

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7、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的上顶点为B，两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{3}$ ， P为线段F₁F₂上动点，且P到直线 $B F_{1}, B F_{2}$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ，则椭圆C的标准方程为．

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8、设函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} \begin{matrix} e^{x} & x < 0 \\ - g (x - 1) & x \geq 0 \end{matrix} \end{array}$ ，则 $g (g (8)) =$ ．

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9、已知函数f(x)的定义域为R，f(x)－f(y)＝f( $\frac{x - y}{2}$ )f( $\frac{x + y}{2}$ )，且f(x)不恒为0，则（）

A、f(0)＝0 B、f(x)是偶函数 C、f(x)是奇函数 D、f(1)f^'(2)＝f^'(1)f(2)

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10、已知函数 $f (x) = \frac{- a x^{2} + x - a}{e^{x}} (a \neq 0)$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 既有极大值又有极小值 B、函数 $f (x)$ 的极小值点为1 C、若函数 $f (x)$ 有二个零点，则 $- \frac{1}{2} < a < 0$ 或 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、若 $a > 0$ ，则 $f (0) < f (1 + \frac{1}{a})$

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11、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列结论正确的有（）

A、直线AC与A₁D所成的角为60° B、直线A₁D到平面AB₁C的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、直线B₁D与平面AB₁C所成的角为30° D、三棱锥B-A₁B₁D外接球的体积为 $4 \sqrt{3}$ π

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 上一点 $M (\frac{3 \sqrt{2}}{4} a, \frac{\sqrt{2}}{4} b)$ 作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于 $P$ ， $Q$ 两点．若 $∠ M O Q = 3 ∠ M O P$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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13、已知平行于圆锥底面的平面将圆锥的侧面分成面积相等的两部分，且原圆锥的高和底面圆的半径均为2，则截得的圆台的体积为（）

A、 $\frac{7}{3}$ π B、 $\frac{8 - 2 \sqrt{2}}{3}$ π C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ π D、2 $\sqrt{2}$ π

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14、若 $a = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = \sin \frac{1}{2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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15、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{2 \cos x}{e^{x} + e^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{2 \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{2 \sin 2 x}{e^{x} + e^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{4 \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$

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16、设 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} = {(b + 1)}^{3}$ ”是“ $3^{a} > 3^{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、若集合 $A = \{x | y = \sqrt{- x^{2} + 1}\}, B = {x | |x - 1| \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 1, 1]$

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, A C = 7, ∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、已知点D在平面 $A B C$ 内，且 $∠ A D B = ∠ A C B$ ，求四边形 $A B D C$ 的周长的最大值．

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19、如图， $A B$ 是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且 $A P ⊥ P Q$ ．

(1)、求证： $P Q ⊥ B Q$ ；

(2)、若 $A B = 4, A P = 1, B Q = 3$ ，求直线 $P Q$ 与平面 $A B Q$ 所成角的正弦值．

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20、已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，第 $i$ 层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为 $n_{i}, \bar{x_{i}}, s_{i}^{2}, i = 1, 2$ ．记总样本数据的均值为 $\bar{x}$ ，总样本数据的方差为 $s^{2}$ ．

(1)、写出 $\bar{x}$ 与 $s^{2}$ 的计算公式（直接写出结果，不需证明）；

(2)、某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位： $cm$ ），计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30．
（i）如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差；
（ii）如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由．

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