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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 \cdot 2^{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{(n + 1) a_{n}}{3 n - 2}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .
（ⅰ）求 $S_{n}$ ；
（ⅱ）若 $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} < m \cdot 3^{n + 1}$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 6 a x + b \ln x + 2 a^{2} (a, b \in R)$

(1)、若 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $4 x - 2 y - 1 = 0$ ，求a与b的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $- \frac{5}{2}$ ，求a与b的值.

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 28$ ，且 $3 a_{2} = 2 a_{1} + a_{3}$ ，公比 $q \neq 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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4、令 $f (x) = x^{2}$ ，对抛物线 $y = f (x)$ 持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点 $(1, 1)$ 处作抛物线的切线交 $x$ 轴于 $(x_{1}, 0)$ ；
在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处作抛物线的切线，交 $x$ 轴于 $(x_{2}, 0)$ ；
在点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处作抛物线的切线，交 $x$ 轴于 $(x_{3}, 0)$ ；
……
得到一个数列 $\{x_{n}\}$ ，则 $x_{1}$ 的值为；数列 $\{x_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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5、已知函数 $f (x) = x - \frac{4}{x}$ ，则不等式 $f (t^{2} + 3) + f (- 2 t^{2} + t - 1) > 0$ 的解集为．

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6、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 30$ ，则 $a_{1} + a_{9}$ 的值为．

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7、已知函数 $f (x) = x e^{x} + a x (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x) \geq - \frac{1}{e}$ B、当 $a = 1$ 时，直线 $y = 2 x$ 与函数 $f (x)$ 的图象相切 C、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则 $a \geq 1$ D、若在区间 $[0, 1]$ 上 $f (x) \leq x^{2}$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为 $1 - e$

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8、曲线 $y = x^{3} - x + 1$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = - 2 x + 1$ C、 $y = x - 1$ D、 $y = - x + 1$

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9、已知 $f^{'} (x) = 2$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x) - f (x + 2 Δ x)}{Δ x} =$ （）

A、－4 B、－1 C、1 D、4

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10、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{3} = 3$ ， $a_{1} a_{5} = 8$ ，则该数列的公差为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\pm \frac{1}{2}$

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11、平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{1}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ C、1 D、 $\sqrt{5}$

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12、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 4\}$ ， $B = \{x |0 < x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 3)$ D、 $(- 2, 0)$

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13、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A D$ 边上，点 $F$ 在 $C D$ 边上，且 $A E = \frac{1}{2} E D, D F = λ F C, A F$ 与 $B E$ 相交于点 $G$ ，若 $\vec{A F} = \frac{10}{3} \vec{A G}$ ，则实数 $λ =$ .

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14、已知复数 $z = - \frac{2 + i}{i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ .

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15、下列关于平面向量的说法正确的是（）

A、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为非零向量，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ B、在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 4 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{C D} = - 5 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形； C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

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16、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ B A C$ 的角平分线AD交BC边于点D， $△ A B D$ 的面积是 $△ A D C$ 的面积的2倍，则 $\tan B =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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17、已知 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 2)$ ，若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1]$

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18、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \frac{1}{2}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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19、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，且过点 $B (- 4, 3)$ ． $C$ 的右支上有三点 $P, M, N$ 满足 $B M // A P$ ， $A N // B P$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ P M N$ 的面积；

(3)、求四边形 $A B M N$ 面积的最小值．

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20、直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ ，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为 $A_{1} B_{1}$ ，下底面椭圆的长轴为 $A B$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上一点，过点 $E$ 作直线交椭圆于 $C$ ， $D$ 两点，设线段 $A E$ 与线段 $B E$ 的长度之比为 $m$ ．

(1)、当点 $E$ 为底面椭圆的焦点时，求 $m$ 的值；

(2)、当 $A B ⊥ C D$ ， $m = \frac{3}{4}$ 时，求平面 $A_{1} C B$ 与平面 $A_{1} D B$ 夹角的余弦值．

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