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相关试卷

1、书架第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，现从书架第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同取法（）

A、9种 B、24种 C、 $16$ 种 D、 $6$ 种

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2、我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点 $T$ ，该点 $T$ 即称为托里拆利点（以下简称“ $T$ 点”）.通过研究发现三角形中的“ $T$ 点”满足到三角形三个顶点的距离和 $T A + T B + T C$ 最小.当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{°}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{°}$ 的点 $O$ 即为“ $T$ 点”；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{°}$ 时，最大内角的顶点为“ $T$ 点”.试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .

(1)、若 $\sqrt{3} b - c \sin A = \sqrt{3} a \cos C$ ，则
①求 $A$ ；
②若 $b c = 4$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“ $T$ 点”，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(2)、若 $a \cos B - b \cos A = c$ ，设 $P$ 点为 $△ A B C$ 的“ $T$ 点”， $| \vec{P B} | + | \vec{P C} | = 2 t | \vec{P A} |$ ，求实数 $t$ 的最小值.

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3、记△ $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{3} a sin B - b cos A = b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $b - 2 c$ 的范围.

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4、如图，扇形 $O A B$ 所在圆的半径为 $2$ ，它所对的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $C$ 为弧 $A B$ 的中点，动点 $P$ ， $Q$ 分别在线段 $O A$ ， $O B$ 上运动，且总有 $O P = B Q$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、若 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{C P}$ ， $\vec{C Q}$ ；

(2)、求 $\vec{C P} \cdot \vec{C Q}$ 的取值范围.

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5、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，点P是平面 $A B C D$ 外一点．

(1)、求证： $B C / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、 $M$ 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： $A P / / H G .$

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6、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \cos B = b \cos ∠ B A C$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，若 $A M = 4$ ，则 $b + \sqrt{2} c$ 的最大值为．

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7、若向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角，则实数x的取值范围是

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8、化简 $\sin^{2} (α - \frac{π}{6}) + \sin^{2} (α + \frac{π}{6}) - \sin^{2} α$ 的结果是.

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9、如图，已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高 $h = 4 \sqrt{6}$ ，且 $A B = 2 A_{1} B_{1} = 8$ ，则此正四棱台的外接球表面积为（）

A、 $80 π$ B、 $91 π$ C、 $128 π$ D、 $182 π$

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10、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，若 $cos (\frac{π}{6} - α) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $sin (α + \frac{5 π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{3}$

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11、西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（） $m^{3}$ ．

A、15880 B、22380 C、47640 D、67140

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12、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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13、在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 表示，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq 3, i \in N)$ .而在 $n$ 维空间中 $(n \geq 2, n \in N)$ ，以单位立方体的顶点坐标可表示为 $n$ 维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ .现有如下定义：在 $n$ 维空间中， $P (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $Q (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, b_{n})$ 两点的曼哈顿距离为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + |a_{3} - b_{3}| + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + |a_{n} - b_{n}|$

(1)、在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；

(2)、在 $n (n \geq 2)$ 维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量 $X$ 为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出 $X$ 的分布列与期望；
（ii）证明：随机变量 $X$ 的方差小于 $\frac{n}{4}$ .

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14、已知函数 $f (x) = x ln (x + a - 1), g (x) = e^{x} + cos x - 1$ ，其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数.

(1)、当 $a = 1$ 时，若过点 $(m, m)$ 与函数 $f (x)$ 相切的直线有两条，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $0 \leq a \leq 1$ ，当 $x > 1 - a$ 时，证明： $f (x) < g (x)$ .

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15、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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16、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，点M，N分别为线段 $A B$ ， $C D$ 上的动点，沿 $D M$ 将 $△ A D M$ 翻折至 $△ A^{'} D M$ ，若点C在平面 $A^{'} D M$ 内的射影恰好落在直线 $D M$ 上，则当线段 $A^{'} N$ 最短时，三棱锥 $A^{'} - C M N$ 的体积为.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $0 < a_{1} < 1, e^{a_{n + 1}} = (3 - a_{n}) \cdot e^{a_{n}}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 B、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} < 0$ C、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} > 2$ D、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} > \frac{4}{3}$

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18、设随机变量X~N(0，1)， $f (x) = P (X \leq x)$ ，其中x>0，则下列等式成立的有（）

A、f(-x)=1-f(x) B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、f(x)在(0，+∞)上是单调增函数 D、 $P (|X| \leq x) = 2 f (x) - 1$

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19、已知两个复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} = i$ ，且 $z_{1} = 1 - i$ ，则下面选项正确的是（）

A、 $z_{2} = \frac{1 + i}{2}$ B、 $|z_{1}| = \frac{1}{|z_{2}|}$ C、 $|z_{1} + z_{2}| \geq 2$ D、 ${\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2} = - i$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点.若 $△ A B F_{1}$ 的内切圆的周长为 $\frac{4 \sqrt{5} π}{9}$ ，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$ 或 $y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} x$ B、 $y = 3 x - 3$ 或 $y = 3 - 3 x$ C、 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 或 $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x$ D、 $y = 2 x - 2$ 或 $y = 2 - 2 x$

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