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相关试卷

1、已知线段 $B D$ 、 $A C$ 交于点 $O$ ，且 $B O = O D = \sqrt{3}$ ， $∠ B O C = \frac{π}{6}$ ， $B C = A D$ ．

(1)、若 $O A \neq O C$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、若 $A + C = π$ 且 $\cos 2 A + \sqrt{3} \sin 2 A = 4 - 6 \sin B$ ，求 $O C$ 的长．

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2、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6}) - 2 \sin^{2} x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、若函数 $y = f (\frac{ω}{2} x) (ω > 0)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，求 $ω$ 的取值范围．

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3、设集合 $A = \{x |x^{2} + x - 6 < 0\}$ ， $B = \{x |2 - a < x < 3 a - 2\}$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、设函数 $f (t)$ 在 $[0, 1]$ 上有定义，且满足以下性质：① $f (t) + f (1 - t) = 1$ ， ② $f (t) = 2 f (\frac{t}{3})$ ．则 $f (\frac{26}{27}) =$ ．

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5、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $\cos (a + b) = a + \frac{1}{a} - 1$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的最小值为．

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x - 1} - 1, x \leq 1 \\ \log_{2} x, x > 1 \end{cases}$ ，则 $f [f (2)] =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = |\cos x| + |\cos a x| - \sin x - \sin a x$ ，则下列正确的是（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 存在零点 B、存在实数 $a$ ，使得 $f (x) \leq 0$ 对任意实数 $x$ 恒成立 C、不存在正实数 $a$ ，使得 $f (x) > 0$ 对任意实数 $x$ 恒成立 D、不存在正实数 $a$ ，使得 $f [f (x)] > 0$ 有实数解

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8、已知 $a$ ， $b$ 为正实数， $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为1 B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为2 C、 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 2}$ 的最小值为 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值3

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9、已知函数 $f (x)$ 的周期为2，且在 $(0, 1)$ 上单调递增，则不符合条件的 $f (x)$ 有（）

A、 $f (x) = |\sin π x|$ B、 $f (x) = |\cos π x|$ C、 $f (x) = |\sin \frac{π}{2} x|$ D、 $f (x) = |\tan π x|$

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10、已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，若存在实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 使得 $f (b) + f (c) = f (b) f (c)$ 且 $f (a) + f (b) + f (c) = f (a) f (b) f (c)$ 成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \log_{2} \frac{4}{3}]$ B、 $(0, \log_{2} \frac{2}{3}]$ C、 $(- \infty, \log_{2} \frac{2}{3}]$ D、 $(- \infty, \log_{2} \frac{4}{3}]$

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11、在 $△ A B C$ 中， $D$ 在 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ， $∠ D A C + ∠ B A C = π$ ，则 $\frac{A B}{A D}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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12、已知 $a = {0.9}^{0.9}$ ， $b = \lg 1.9$ ， $c = {1.9}^{0.9}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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13、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 9 x - 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 等于（）

A、 $2^{- x} - 9 x - 1$ B、 $2^{- x} + 9 x + 1$ C、 $- 2^{- x} - 9 x - 1$ D、 $- 2^{- x} + 9 x + 1$

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14、已知 $\sin (15^{\circ} - \frac{α}{2}) = \tan 330^{\circ}$ ，则 $\sin (α + 60^{\circ})$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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15、函数 $f (x) = \frac{x^{4}}{4} + \cos x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 4\}$ ， $B = \{x |- 3 < x \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |x < 2\}$ B、 $\{x |1 < x < 2\}$ C、 $\{x |- 3 < x \leq 1\}$ D、 $\{x |- 3 < x < 2\}$

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17、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，满足 ${cos}^{2} A - {cos}^{2} B = (sin C - sin A) sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围；

(3)、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120^{\circ}$ 的点 $P$ 即为费马点.若 $△ A B C$ 的面积为3，是否在 $△ A B C$ 内部存在费马点 $P$ ，使得 $P B^{2} - P A \cdot P C$ 为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b cos A = c - b$ ．

(1)、求证： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{c}{2 b - a} = \frac{cos C}{cos A}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2, △ A B C$ 的面积 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20、十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 $36 °$ 的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 $△ A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .根据这些信息，可得 $\sin 234 ° =$ .

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