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相关试卷

1、若关于 $θ$ 的方程 $\frac{sin θ - a cos θ}{cos θ + a sin θ} = - \frac{{cos}^{3} θ}{{sin}^{3} θ}$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上有且仅有一个实数解，则实数 $a =$ ．

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2、已知正数 $a, b$ 满足 $(2 a + 1) (b + 1) = 4$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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3、小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为．（用数字作答）

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4、已知 $F (1, 0)$ ，圆 $M : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 为圆 $M$ 上一动点，以 $P F$ 为直径的圆 $N$ 交 $y$ 轴于 $A, B$ 两点，设 $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B}), P (x_{P}, y_{P})$ ，则（）

A、当点 $N$ 在 $y$ 轴上时， $|P F| = \sqrt{5}$ B、 $|M N|$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ C、 $y_{A} y_{B} = x_{P}$ D、 $cos ∠ A F P = \frac{1}{|B F|}$

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5、已知函数 $f (x)$ 不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，使得 $f^{'} (x) = t f (x)$ B、不存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，满足 $f (x) + f (t) = f (2 x)$ C、存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，满足 $f (x^{t}) = t f (x)$ D、若存在实数 $t$ 满足 $f^{'} (x) = f (x + t)$ ，则 $f (x)$ 只能是指数函数

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6、为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数如下： $9, 8, 6, 10, 9, 7, 6, 9$ （单位：环），则这组样本数据的（）

A、极差为4 B、平均数是8 C、上四分位数是9 D、方差为4

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7、已知 $D$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 右支上一点，过点 $D$ 分别作 $C$ 的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点 $A, B$ ，则 $|D A| \cdot |D B| =$ （）

A、 $2$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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8、已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\cos 40 °$ ，焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，一个短轴顶点为 $B$ ，则 $∠ F_{1} B F_{2} =$ （）

A、40° B、50° C、80° D、100°

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9、已知底面半径为 $\sqrt{5}$ 的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $2 \sqrt{15} π$ B、 $\frac{10 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{5 \sqrt{15}}{3} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{10}}{3} π$

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10、向量 $\vec{a} = (2, - \frac{1}{2})$ 在向量 $\vec{b} = (1, 3)$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(2, - \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{20}, \frac{3}{20})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{20}, \frac{3 \sqrt{2}}{20})$ D、 $(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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11、已知事件 $A, B$ 互斥，且 $P (A) = P (B) = 0.5, M$ 满足 $P (M |A) = 0.8, P (M |B) = 0.7$ ，则 $P (M) =$ （）

A、0.25 B、0.35 C、0.4 D、0.75

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12、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 4 x - 5 \geq 0\}, B = \{y |y = \sqrt{x - 2024}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 5, 1]$ B、 $[1, 2024)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2024, + \infty)$

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13、已知 $\frac{3}{z} = - 1 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{3}{5} + \frac{6}{5} i$ B、 $- \frac{3}{5} - \frac{6}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{6}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} + \frac{6}{5} i$

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14、已知函数 $f (x) = a x - 1 - ln x$ ， $a \in R .$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x) = e^{x} - a x - 1$ 有相同的最小值，求a的值；

(3)、证明：对于任意正整数n， $(1 + \frac{1}{2!}) (1 + \frac{2}{3!}) \dots \dots (1 + \frac{n}{(n + 1)!}) < e$ （ $e$ 为自然对数的底数 $) .$

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15、某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.

(1)、当进行完3轮游戏时，总分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若累计得分为 $i$ 的概率为 $p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，初始分数为0分，记 $p_{0} = 1$
（i）证明：数列 $\{p_{i} - p_{i - 1}\} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ 是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.

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16、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ $(n \in N^{*})$ ， $S_{9} = 45$ ， $a_{2} + a_{3} = 5$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{2024 - a_{n}}{a_{n + 1}}$ $(n \leq 2024, n \in N^{*})$ ，记 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2024}$ $.$

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17、如图，边长为2的等边 $△ P D C$ 所在的平面垂直于矩形 $A B C D$ 所在的平面， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $P D ⊥ B C$ ；

(2)、若 $N$ 为直线 $P A$ 上一点，且 $M N ⊥ P A$ ，求直线 $D N$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值．

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18、已知 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}})}^{n} (n \in N^{*}, a \neq 0)$ 的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 $1.$

(1)、求实数a和n的值；

(2)、求展开式中系数最小的项．

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19、甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷 $($ 分出胜者算一场 $) .$ 若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为.

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20、若直线 $x - y = 1$ 与直线 $(m + 3) x + m y - 8 = 0$ 平行，则 $m =$ ，它们之间的距离为.

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