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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} =$ $(a, c o s A)$ ， $\vec{n} =$ $(c o s B, b - c)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ $= c \cdot c o s A$ ， $△ A B C$ 外接圆面积为 $3 π .$

(1)、求A；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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2、甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，负的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛之间的胜负相互独立．

(1)、求第三局结束时甲获胜的概率；

(2)、求乙最终以 $2$ 分获胜的概率．

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3、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱 $A A_{1}$ 、棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点．若 $D_{1} P //$ 平面BEF，则AP的取值范围是．

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4、已知函数 $y = - \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = x + k_{2}$ ，其中 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为.

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5、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} - \vec{a}$ 的夹角为．

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6、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方体的中心， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F$ ∥平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、三棱锥 $D_{1} - D C B$ 的外接球表面积为 $12 π$ B、动点 $F$ 的轨迹是一条线段 C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积是随点 $F$ 的运动而变化的 D、若过A， $M$ ， $C_{1}$ 三点作正方体的截面 $Ω$ ， $Q$ 为截面 $Ω$ 上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度的取值范围为 $[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 2 \sqrt{2}]$

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7、已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）

A、甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B、甲种的样本方差大于乙种的样本方差 C、甲种样本的 $70 %$ 分位数小于乙种样本的 $70 %$ 分位数 D、甲乙两种水稻近五年的总方差为 $0.072$

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8、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ 、 $\overset{⌢}{A C}$ 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（）

A、高为2 $\sqrt{2}$ B、母线长为3 C、表面积为14π D、体积为 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ π

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9、如图， $F$ 为平行四边形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点， $A C, B D$ 交于点 $O, \vec{B F} = \frac{1}{4} \vec{B O}$ ，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $- \frac{3}{16}$ C、 $\frac{7}{64}$ D、 $- \frac{7}{64}$

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10、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ∥ α$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ∥ β$

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11、已知复数z满足 $\frac{\bar{z} - 2}{z + 1} = 2 i$ ，则复数z在复平面内的对应点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P C = P D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形，O点为 $A D$ 的中点， $O B ⊥ O C$ ， $∠ A O B = 30 °$ ， $P O = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ，求平面 $P O B$ 与平面 $P C D$ 所成的二面角的正切值：

(3)、当 $P A$ 与平面 $P C D$ 的所成角最大时，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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13、风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 $\frac{2 π}{3}$ ，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）．

(1)、求函数 $h (t)$ 的解析式；

(2)、当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长．

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14、已知 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (2 \sqrt{3} \cos x, - 2 \cos x)$ ， $\vec{c} = (- \cos x, 3 \sin x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求 $\sin 2 x$ ；

(2)、若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值，以及相应的x的值．

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15、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线交于点O，点E在 $B C$ 上，且 $B C = 4 B E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点G，若 $\vec{C G} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m^{2} + n^{2} =$ ．

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16、在复平面内，i为虚数单位，若复数z满足 $z (1 + i) = i$ ，则 $|z| =$ ．

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17、《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列命题正确的是（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球的体积等于该牟合方盖的内切球的体积 B、该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2∶3 C、该牟合方盖的内切球被平面 $A_{1} C_{1} D$ 截得的截面面积为 $\frac{π}{3}$ D、以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积与该牟合方盖的内切球的体积之比为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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18、函数 $f (x) = A cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < 0$ ）的部分图象如图所示，下列正确的是（）

A、 $ω = 2$ ， $φ = - \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、若 $f (\frac{α}{2}) = 1$ ，则 $f (α - \frac{π}{6}) = - 1$ D、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，函数 $g (x) = f (x - \frac{π}{12})$ 是奇函数

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，点D为 $B C$ 的中点，点E为 $A C$ 的四等分点（靠近点C）， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C}$ B、 $A D = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - \frac{7}{4}$ D、 $\vec{A E}$ 是 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量

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20、某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为 $30 °$ ， $60 °$ ， $45 °$ ，且 $A B = B C = 50 m$ ，则该古建筑的高度为（）

A、 $15 \sqrt{10} m$ B、 $20 \sqrt{5} m$ C、 $10 \sqrt{15} m$ D、 $50m$

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