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相关试卷

1、若 $(1 + 2 i) \bar{z} = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - i$

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2、已知向量 $\vec{a} = (x, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ， $\vec{c} = (3, 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / (\vec{b} + \vec{c})$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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3、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B D$ 是等边三角形， $B D ⊥ D C$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ D B C = 60^{\circ}$ ， $E$ ， $F$ 分别 $A D$ ， $D C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $A D C$ ；

(2)、求二面角 $E - B F - D$ 的余弦值.

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4、 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $A B = 6 ， B D = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的内切圆的半径.

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5、（1）已知 $m \in R$ ，复数 $z = (2 m^{2} - 3 m + 1) + (3 m^{2} - 4 m + 1) i$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；
（2）已知 $x ， y \in R$ ，设 $\frac{x + 11 i}{2 + i} = 3 + y i （ i$ 是虚数单位），求 $|x + y i|$ .

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6、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，若 $|3 \vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{31}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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7、在单位圆上有三点 $A, B, C$ ，设 $△ A B C$ 三边长分别为 $a, b, c$ ，则 $\frac{a + b + c}{sin A + sin B + sin C} =$ .

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8、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x - 2 \sqrt{3} {sin}^{2} x + \sqrt{3}$ ，则（）.

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 C、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $m < f (x)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为 $(- \infty, - 1)$ D、将函数 $f (x)$ 的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $x \in [0, t]$ 时，函数 $g (x)$ 有且仅有5个零点，则实数 $t$ 的取值范围为 $[\frac{13 π}{12}, \frac{4 π}{3})$

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $C_{1} B$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球的表面积为 $4 π$ B、 $A_{1} D ⊥ A P$ C、三棱锥 $D_{1} - A C P$ 的体积随着 $P$ 的变化而变化 D、存在点 $P$ ，使得 $E P ⊥$ 平面 $B D C_{1}$

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10、若 $f (x) = \sqrt{2} \cos x (x \in (0, π)$ 的图象与函数 $y = \tan x$ 的图象交于A，B两点，则 $△ O A B$ (O为坐标原点)的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2} π}{4}$

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11、如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{13}}{26}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{26}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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12、将函数 $f (x) = \cos (2 x - φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $φ$ 可能的取值为（）

A、 $- \frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $- \frac{7 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $A = \frac{π}{3},cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, b = 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{15}$

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14、已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为6，则该圆锥的体积是（）

A、 $54 \sqrt{3} π$ B、 $18 \sqrt{3} π$ C、 $18 \sqrt{2} π$ D、 $54 \sqrt{2} π$

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15、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{C E} = 2 \vec{E B}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ D、 $\vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$

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16、若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = i^{2023}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5} i$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5} i$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足： $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = \frac{1}{2}, b_{2} = 5$ ，且 $a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{1} = 4 a_{n} + b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{n}, b_{n}$ ；

(2)、求集合 $M = \{x |x^{2} - (b_{n} + \frac{1}{a_{n}}) x + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 0, n \in N^{*}, n \leq 2 N, N \in N^{*}\}$ 中所有元素的和；

(3)、若集合 $S$ 中存在 $m (m \geq 2)$ 个不同元素 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ ，使得 $k_{1} \cdot k_{2} \dots \cdot k_{m} \in S$ ，则称 $S$ 为 $m$ 类集合.试判断 $\{x ∣ x = 2^{b_{n}}, n \in N^{*}\}$ 是否为 $m$ 类集合.若是，求出所有 $m$ 的值；若不是，说明理由.

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $l$ 交 $E$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过 $E$ 的右焦点，当 $△ O A B$ 面积最大时，求 $|A B|$ ；

(3)、若直线 $l$ 不过原点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，直线 $O M$ 与 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，已知 $P, Q, A, B$ 四点共圆，证明： $|A B| < 2 \sqrt{3}$ .

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19、如图， $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C, A C = B C = 2, D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 翻折到某个位置得到 $△ P D E$ .

(1)、线段 $P B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $D M$ $∥$ 平面 $P C E$ ，并说明理由；

(2)、当 $P B = \sqrt{6}$ 时，求平面 $P B D$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值.

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20、已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为0，求实数 $a$ 的值.

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