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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x + cos x - \sqrt{\frac{x}{2}}$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $E : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相等的焦距，离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则 $e_{2} - e_{1}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3、已知 $0 < a < 1 < b$ ，则（）

A、 $b^{a} < a^{b} < a^{a} < b^{b}$ B、 $a^{b} < a^{a} < b^{a} < b^{b}$ C、 $b^{b} < a^{b} < a^{a} < b^{a}$ D、 $a^{b} < b^{a} < a^{a} < b^{b}$

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4、已知动点 $P$ 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）

A、 $16 - 4 π$ B、 $4 + π$ C、 $4 + 2 π$ D、 $12 - 2 π$

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5、已知两个不同的平面 $α, β$ ，一条直线 $m$ ，下列命题是假命题的是（）

A、若 $α$ $∥$ $β, m$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $α$ $∥$ $β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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7、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x < 2\}, B = \{y \in N ∣ y = x^{3}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[0, 2)$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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8、已知 $a \in R, i$ 是虚数单位， $(a + 2 i) (a - 2 i) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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9、法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{n}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， …， $b_{n} \in R$ ，则 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) \geq {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2}$ ，当且仅当 $b_{i} = 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ 或存在一个数k，使得 $a_{i} = k b_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 时，等号成立．

(1)、请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；

(2)、 $f (x) = \sqrt{x} + \sqrt{1 - 2 x}$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(3)、设P是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 内的任意一点，点P到四个面的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ ， $d_{4}$ ，求 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} + d_{4}^{2}$ 的最小值．

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10、已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $2 \sin A \sin B \sin C = \sqrt{3} (\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A)$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，当 $△ A B C$ 的周长取最大值时，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $\frac{a^{2} - c^{2}}{b^{2}}$ 的取值范围．

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11、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为棱 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $A B_{1} //$ 平面 $D B C_{1}$ ；

(2)、令三棱锥 $A - B C_{1} D$ 的体积为 $V_{1}$ ．多面体 $A B D A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ ．

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12、已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是 $(4 \sqrt{3} - 4) km$ ， C地在A地的北偏西 $75 °$ 方向，A，C两地之间的距离是 $8km$ ，现要在B地的北偏东 $30 °$ 方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的 $\sqrt{3}$ 倍．

(1)、求B、C两地之间的距离；

(2)、求高铁站D到C地的距离．

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13、 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的单位向量，设 $\vec{O P} = 3 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ ．

(1)、计算 $|\vec{O P}|$ 的大小；

(2)、设向量 $\vec{a} = m \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{O P}$ 共线，求实数m的值；

(3)、是否存在实数n，使得 $\vec{O P}$ 与向量 $\vec{b} = \vec{e_{1}} + n \vec{e_{2}}$ 垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

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14、设 $z_{1}$ 是虚数， $z_{2} = z_{1} + \frac{1}{z_{1}}$ 是实数．则 $|z_{1} - 1|$ 的取值范围为．

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15、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 $∠ A = 45 °$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $∠ B =$ ．

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16、如图，已知 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，任意点 $M$ 关于点 $A$ 的对称点为 $S$ ，点 $S$ 关于点 $B$ 的对称点为 $N$ ，则向量 $\vec{M N}$ =（用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{M N}$ ）

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点M，P，N分别是线段 $C_{1} D_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A D$ 的中点．则以下选项正确的是（）

A、直线 $M P //$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、平面 $M P N //$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、直线 $A_{1} M$ 、 $B P$ 、 $B_{1} C_{1}$ 三线共点 D、过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为 $\sqrt{2} + 2 \sqrt{10}$ ．

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18、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，点O在边 $B C$ 上，且 $\vec{O C} = 2 \vec{B O}$ ．过点O的直线分别交射线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点M，N， $\vec{A B} = m \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A N}$ ．则以下选项正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\cos 〈 \vec{O A}, \vec{O C} 〉 = \frac{\sqrt{7}}{14}$ C、 $m + n = 3$ D、 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是 $\frac{8}{3}$

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19、已知复数 $z = \frac{1}{3 + 4 i}$ 是方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则下列说法正确的是（）

A、 $p = - \frac{6}{25}$ B、复数z的模为5 C、复数z的虚部为 $- \frac{4}{25} i$ D、方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的另一个根为 $\frac{3}{25} + \frac{4}{25} i$

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20、若不共线的两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{b} |$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $| 2 \vec{a} | > | 2 \vec{a} - \vec{b} |$ B、 $| 2 \vec{a} | < | 2 \vec{a} - \vec{b} |$ C、 $| 2 \vec{b} | > | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ D、 $| 2 \vec{b} | < | \vec{a} - 2 \vec{b} |$

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