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相关试卷

1、设 $α \in R$ ，则“ $\sin 2 α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $\tan α = \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、在矩形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, A D = 2, A B = \sqrt{2}$ ，点E为线段 $A D$ 的中点， $B E$ 与 $A C$ 交于点F．设 $\vec{A F} = k_{1} \vec{e_{1}} + k_{2} \vec{e_{2}} (k_{1}, k_{2} \in R)$ ，其中 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与 $\vec{A B}, \vec{A D}$ 方向相同的单位向量，则（）

A、 $k_{1} = \frac{2}{3}, k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $k_{1} = \frac{\sqrt{2}}{3}, k_{2} = \frac{2}{3}$ C、 $k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = \frac{2}{3}$

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3、已知函数 $f (x) = | x | - | x - 2 | + 1$ ，则对任意实数x，有（）

A、 $f (1 - x) = 2 - f (1 + x)$ B、 $f (- x) = - f (x) - 2$ C、 $f (2 - x) = 2 + f (x)$ D、 $f (2 + x) = f (2 - x)$

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4、已知 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则 $n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5、已知 $a = \log_{0.5} 0.2, b = {0.5}^{0.5}, c = 2^{0.5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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6、若抛物线 $C : x^{2} = m y (m \neq 0)$ 的焦点坐标为 $(0, - 1)$ ，则抛物线C的准线方程为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 1$ C、 $y = 2$ D、 $y = 1$

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7、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} + x < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ 2^{x} \leq 1\}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $P A = P C$ ， E为侧棱PD上的点，且 $P E = 3 E D$ .

(1)、证明： $P D ⊥ A C$ ；

(2)、在侧棱PC上是否存在一点F，使得 $B F / /$ 平面 $A C E$ ？若存在，求 $\frac{P C}{P F}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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9、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边为 $a, b, c$ ，且 $\frac{3 (sin A - sin B)}{sin C} = \frac{3 c - 2 b}{a + b} .$

(1)、求 $sin A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{16}{3} \sqrt{2};$
①已知 $E$ 为 $B C$ 的中点，且 $b + c = 8$ ，求 $△ A B C$ 底边 $B C$ 上中线 $A E$ 的长；
②求内角 $A$ 的角平分线 $A D$ 长的最大值.

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10、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ （如图所示），底面 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $C C_{1} = 4$ ， $E$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A C_{1} //$ 平面 $A_{1} E B$ ；

(2)、求三棱锥 $A - E B A_{1}$ 的体积．

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11、如图， $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 3$ ， $b \sin C = a \sin A - b \sin B - c \sin C$ ．过点 $A$ 作 $A D ⊥ A B$ 交线段 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = D C$ ．

(1)、求 $∠ B A C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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12、三棱锥 $D - A B C$ 中， $D A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, D A = A B = \sqrt{3}, B C = \sqrt{2}$ ，则该三棱锥的外接球表面积等于.

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13、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E ， F$ 分别是 $A D ， D D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是底面 $A B C D$ 内一动点，则下列结论正确的为（）

A、不存在点 $P$ ，使得 $F P$ //平面 $A B C_{1} D_{1}$ B、过 $B ， E ， F$ 三点的平面截正方体所得截面面积是 $\frac{9}{2}$ C、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} P$ 的体积不为定值 D、三棱锥 $F - A C D$ 的外接球表面积为 $9π$

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14、已知复数 $z = \frac{i}{1 - i^{5}} ， \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则下列说法正确的是（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- \frac{1}{2}$ i B、 $|z - i| = \sqrt{2}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $z$ 为方程 $2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 的一个根

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15、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $M, N$ 分别是线段 $D A_{1}$ 、 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，若 $M N / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ ，则线段 $M N$ 长的最小值为（　　）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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16、如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东 $45 °$ 方向，距离 $20 \sqrt{2}$ 海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北 $θ (0 ° < θ < 45 °)$ 方向的C处，且 $cos θ = \frac{4}{5} .$ 已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（）

A、 $4 \sqrt{85}$ 海里/小时 B、 $3 \sqrt{85}$ 海里/小时 C、 $2 \sqrt{7}$ 海里/小时 D、 $4 \sqrt{6}$ 海里/小时

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17、如图所示，三棱柱ABC－A^'B^'C^'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC^'B^'F将三棱柱分成体积为V₁(棱台AEF－A^'C^'B^'的体积)，V₂的两部分，那么 $V_{1} : V_{2} =$ （　　）

A、6︰5 B、7︰5 C、8︰3 D、4︰3

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{2}{3} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 3$ D、3

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19、若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 5 i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $1$

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a cos A + a sin A = b cos B + b sin B$ ，且 $a \neq b .$

(1)、求 $C;$

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 边的中点，且 $A B = 1$ ， $C D = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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