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相关试卷

1、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，以顶点 $A$ 为球心， $2$ 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于

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2、复数 $ω$ 满足 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ ，则 $ω + \bar{ω} =$ ， $|ω + 2 ω^{2} + 3 ω^{3}| =$ ．

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3、半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有（）

A、此半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式 $V + F - E = 2$ B、过A，B，C三点的平面截该正多面体，所得截面面积为 $3 \sqrt{3}$ C、若该半正多面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 $12 π$ D、若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 $16 \sqrt{6}$

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4、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 是复数， $z_{1} \neq 0$ ，则下列命题中的真命题是（）

A、若 $| z_{1} - z_{2} | = 0$ ，则 $\bar{z_{1}} = \bar{z_{2}}$ B、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $\bar{z_{2}} = z_{3}$ ，则 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} z_{3} |$ D、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$

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5、已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长为2，高为 $\sqrt{3}$ ，则其内切球半径是（）

A、1 B、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，过点 $D$ 的直线分别交直线 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，且 $\vec{A E} = m \vec{A B}, \vec{A F} = n \vec{A C}$ ，其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $\frac{8}{3}$

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7、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 7$ ， $b = 3$ ， $c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、 $\frac{64}{3}$

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8、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} |$ ， $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{2}{3}$ ，若 $\vec{b} ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，记 $\vec{C B} = \vec{m}$ ， $\vec{C D} = \vec{n}$ ，则 $\vec{C A} =$ （）

A、 $3 \vec{m} - 2 \vec{n}$ B、 $- 2 \vec{m} + 3 \vec{n}$ C、 $3 \vec{m} + 2 \vec{n}$ D、 $2 \vec{m} + 3 \vec{n}$

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11、复数 $\frac{2 - i}{1 - 3 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{b ln x}{x} - 1$ .

(1)、若 $b = e$ （e为自然对数的底数），求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $b = 1$ ，函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{x}$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且不等式 $x_{1} e^{x_{1}} + 2 x_{2} e^{x_{2}} > m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为 $\sqrt{5}$ 的等腰三角形，点 $M$ 为 $△ P C D$ 的重心.

(1)、求证： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、经过点 $M$ 及直线 $A B$ 作截四棱锥的截面 $α$ ，设截面 $α \cap$ 平面 $P C D = l$ ，请画出直线 $l$ ，判断直线 $l$ 与平面 $P A B$ 的位置关系，并进行证明；

(3)、求二面角 $C - P B - D$ 的余弦值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 3, a_{11} = 3 a_{4}$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{2}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} + S_{2^{n}}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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15、如图所示，过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 2 a$ ，双曲线的离心率为 $e, [x_{0}]$ 表示不超过 $x_{0}$ 的最大整数，则 $[e^{2}]$ 的值为.

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16、四棱锥 $P - A B C D$ 各顶点都在球心 $O$ 为的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A D = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，设 $M, N$ 分别是 $P D, C D$ 的中点，则平面 $A M N$ 截球 $O$ 所得截面的面积为.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n} + n, n 为奇数 \\ a_{n} - 2 n, n 为偶数 \end{matrix}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列结论正确的（）

A、数列 $\{a_{2 n} - 2\}$ 是等比数列 B、 $a_{2 n - 1} = 6 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1} - 4 n$ C、 $S_{8} < - 11$ D、当 $n \geq 2$ 时，数列 $\{S_{2 n}\}$ 是单调递减数列

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，左焦点为 $F, M$ 为 $C$ 上异于 $A, B$ 的一点，过点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ，交 $x$ 轴于点 $T$ ，则（）

A、存在点 $M$ ，使 $∠ A M B = 120^{\circ}$ B、 $\vec{T A} \cdot \vec{T B} = 2 \vec{T M} \cdot \vec{T N}$ C、 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为 $- \frac{4}{3}$ D、 $△ F M N$ 周长的最大值为8

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19、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、函数 $f (x) g (x)$ 是奇函数 C、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于原点对称 D、 $g (2 x) = {[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2}$

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20、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - x + 1$ ，函数 $g (x) = a e^{x} - x + ln a$ ，若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{e})$

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