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相关试卷

1、已知 $f (x) = {(2 x + 3)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为512，且 ${(2 x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + a_{n} {(x + 2)}^{n}$ ．

(1)、求 $n$ 和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 的值；

(2)、若 $0 \leq a < 6$ ， $a \in N$ 且 $f (20) + a$ 被6整除，求 $a$ ．

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2、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - x$ ，当 $x = a$ 时， $f (x)$ 取得极小值．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的最大值和最小值．

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3、某种产品的加工需要经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共5道工序．

(1)、如果 $A$ 工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？

(2)、如果工序 $B$ 和 $C$ 工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？

(3)、如果 $A$ 和 $B$ 工序相邻， $C$ 和 $D$ 不能相邻，那么有多少种加工顺序？

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4、曲线 $y = \frac{a}{x} (a > 0)$ 与 $y = ln x$ 和 $y = e^{x}$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，设曲线 $y = ln x$ 在 $A$ 处的切线斜率为 $k_{1}$ ， $y = e^{x}$ 在 $B$ 处的切线斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = \frac{10}{3}$ ，则 $a =$ ．

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5、在 $(2 x^{2} + x - 1) {(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

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6、如果随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (- 1 \leq X \leq 1) = 0.2$ ，则 $P (X \geq 3) =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 定义域内的极小值点 B、 $f (x)$ 的单调减区间是 $(0, e)$ C、 $f (x)$ 在定义域内既无最大值又无最小值 D、若 $f (x) = m$ 有两个不同的交点，则 $m > e$

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8、甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件 $A_{1}$ 为“取出的是红球”，事件 $A_{2}$ 为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件 $B$ 为“取出的两球都是红球”，事件 $C$ 为“取出的两球为一红一白”，则（）

A、 $P (A_{1} B) = \frac{5}{18}$ B、 $P (C |A_{2}) = \frac{4}{9}$ C、 $P (B) = \frac{11}{27}$ D、 $P (C) = \frac{14}{27}$

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9、我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）

A、由“第 $n$ 行所有数之和为 $2^{n}$ ”猜想： $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ B、由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： $C_{n + 1}^{r} = C_{n}^{r - 1} + C_{n}^{r}$ C、 $C_{2}^{2} {+C}_{3}^{2} {+C}_{4}^{2} + \dots {+C}_{10}^{2} = 165$ D、第29行中从左到右第14与第15个数相等

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10、已知随机事件 $A, B$ 满足： $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则下列选项错误的是（）

A、若 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{12}$ C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{2}$ D、若 $P (\bar{A}) P (B |\bar{A}) = \frac{1}{12}$ ，则 $P (B ∣ A) = \frac{1}{4}$

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11、若函数 $f (x) = k x + e^{2 x}$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 e^{2}, + \infty)$ B、 $[- 2 e^{- 2}, + \infty)$ C、 $[- e^{2}, + \infty)$ D、 $[- e^{- 2}, + \infty)$

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12、某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（）

A、60种 B、54种 C、48种 D、36种

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13、已知随机变量 $X$ 的分布列如图，则 $E (X) =$ （）
$x$
1
2
3
$p$
$\frac{1}{3}$
$a$
$\frac{1}{2}$

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、 $\frac{13}{6}$

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14、已知函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $3 x - y + 2 = 0$ ，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 4$ B、3 C、4 D、8

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设点M为直线 $l : x = 3$ 与x轴的交点，点B为直线 $l : x = 3$ 上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q；
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②设 $⊙ N$ 经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得 $∠ P N Q = 90 °$ ？若存在，求 $|B M|$ ；若不存在，请说明理由．

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16、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = f (e^{x})$ ，若 $g (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = A C = P C = 2$ ， $P A = P B = \sqrt{2}$ ． $M$ 是线段 $P C$ 上的点．

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面ABC；

(2)、若 $M$ 为线段 $P C$ 的中点，求直线 $P M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $M Q ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Q$ 为垂足，当三棱锥 $M - A B Q$ 体积最大时，求平面 $A B M$ 与平面 $A B P$ 的夹角的余弦值．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 1$ ；数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} + 3 = 3 b_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意的正整数n，不等式 $\frac{4}{3} T_{n} - 1 < λ \cdot 9^{n}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 2$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $- 2$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最值．

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20、任何有理数 $\frac{m}{n}$ 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为 $\frac{m}{n}$ 的形式，从而是有理数：则无限循环小数 $1. \dot{5} =$ （写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列 $\{a_{n}\}$ ，设数列 $b_{n} = \frac{1}{(10^{n + 1} - 1) \cdot (a_{n} - 1)}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} =$ ．

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$x$	1	2	3
$p$	$\frac{1}{3}$	$a$	$\frac{1}{2}$