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相关试卷

1、 $\sin 45 ° \cos 15 ° + \cos 45 ° \cos 75 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、设 $f (x)$ 是定义在区间 $D$ 上的函数，如果对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的下凸函数；如果有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的上凸函数．于是根据定义若 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的下凸函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ；若 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的上凸函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ．

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{tan x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求证：
（ⅰ） $f (\frac{x}{2}) = \frac{sin x}{1 - cos x}$ ；
（ⅱ）函数 $f (x) = \frac{1}{tan x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ 为下凸函数；参考公式： $2 sin α sin β = cos (α - β) - cos (α + β)$

(2)、已知函数 $g (x) = a x^{2} + x - \frac{1}{x^{2}}$ ，其中实数 $a > 0$ ，且函数 $g (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内为上凸函数，求 $a$ 的取值范围．

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3、已知圆锥 $S O$ 的底面半径 $r = 4$ ，高 $h = 3$ ．

(1)、求圆锥 $S O$ 侧面展开图圆心角 $α$ （用弧度表示）；

(2)、球 $O_{1}$ 在圆锥 $S O$ 内，圆锥 $S O$ 在球 $O_{2}$ 内，
（ⅰ）求球 $O_{1}$ 的表面积的最大值；
（ⅱ）求球 $O_{2}$ 与球 $O_{1}$ 体积之比的最小值．

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4、已知 $|\vec{a}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}, (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $|\vec{b}|$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值；

(3)、求 $|\vec{a} - t \vec{b}| (t \in R)$ 的最小值．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a cos B - b cos A = c - b$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $sin C = \frac{3}{5}, c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $sin B$ 的值及 $A B$ 边上的高 $h$ ．

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6、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x - 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x + \sqrt{3}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{8}]$ 上的值域．

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7、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, G$ 为棱 $C D$ 的中点， $P, Q$ 分别为 $B C_{1}, C C_{1}$ 上的动点，则 $P Q + Q G$ 的最小值为．

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8、已知点 $A, B, P$ 在以点 $C$ 为圆心的圆上，且 $|\vec{A C}| = |\vec{A B}| = 1$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值是．

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9、已知 $△ A B C$ 的角A、B、C对应边长分别为a、b、c， $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ ，则 $\sin A =$

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10、设 $a$ 为正实数，定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) + f (a) = 1$ ，且对任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)$ 成立，则（）

A、 $f (a) = \frac{1}{2}$ 或 $f (a) = 1$ B、 $f (x)$ 关于直线 $x = a$ 对称 C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $f (x + 4 a) = f (x)$

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11、已知实数 $a, b \in (0, + \infty)$ ，且 $a + \frac{2}{b} = 2$ ，则（）

A、 $0 < a < 2$ B、 $0 < b < 1$ C、 $a - b \leq 2 - 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{a}{b} \geq \frac{1}{2}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $z^{2} + 2 z + 3 = 0, \bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则（）

A、 $z + \bar{z} = 2$ B、 $z \cdot \bar{z} = 3$ C、 $|z| = \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}} \in R$

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13、已知函数 $f (x)$ 为偶函数，对任意的 $x_{1} > x_{2} \geq 0$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，记 $a = f (e^{\frac{2}{3}})$ ， $b = f (2), c = f ({log}_{2} \frac{1}{5})$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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14、在同一直角坐标系中，函数 $y = a^{- x}, y = {log}_{a} (x + \frac{1}{2}), (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图所示，已知正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（）

A、8 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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16、已知复数 $z = \frac{3 i - 1}{i + 1}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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17、已知向量若向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，求 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}|$ ；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角.

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = \sqrt{2}, B = 60^{\circ} .$
（1）若 $C = 75^{\circ}$ ，求 $b$ 的值；
（2）若 $b = \sqrt{14}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，过点 $D$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ .若 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = μ \vec{A C}$ $(λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ + 2 μ$ 的最小值是．

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20、已知 $f (x) = \tan x \cdot (e^{x} + e^{- x}) + 6$ ， $f (t) = 8$ ，则 $f (- t) =$ ．

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