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相关试卷

1、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D_{1} D = 2$ ， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 3$ .

(1)、求证： $A_{1} A / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} A$ 到平面 $C_{1} B D$ 的距离.

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2、已知 $△ A B C$ 中， $2 (\cos^{2} A - \cos^{2} B + \sin^{2} C) = \sin B \sin C$ .

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 的中点，若 $A D = A B$ ，求 $\frac{\sin C}{\sin B}$ .

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3、在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设 $A B = m A M, A C = n A N$ ，则 $4 m + n =$ ．

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4、如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 $A, B$ 两点，从 $A, B$ 两点分别测得树尖的仰角为 $30^{°}, 45^{°}$ ，且 $A, B$ 两点间的距离为 $60m$ ，则树的高度为m.

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5、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点 $P$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上（正方形 $A B C D$ 内部，含边界），则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, 20]$ B、 $[0, 16]$ C、 $(0, 18]$ D、 $[0, 24]$

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6、已知 $α$ ， $β$ 表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $b / / a$ ， $a \subset α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $c ⊥ a$ ， $c ⊥ b$ ，则 $c ⊥ α$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $a / / β$ ， $b / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $a ⊥ α$ ， $a / / b$ ，则 $b ⊥ α$

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7、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶的容积约为（）

A、 ${100cm}^{3}$ B、 ${200cm}^{3}$ C、 ${300cm}^{3}$ D、 ${400cm}^{3}$

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8、已知 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} / / \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{c}$ B、若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = \overset{⃑}{c} \cdot \overset{⃑}{b}$ 且 $\overset{⃑}{b} \neq \overset{⃑}{0}$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{c}$ C、 $|\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 同向 D、若 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 是非零向量，且 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a}| + |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 同向

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (0, 2 \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b} - \vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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10、三个不互相重合的平面将空间分成 $n$ 个部分，则 $n$ 不可能是（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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11、已知复数z满足 $(1 + i) \cdot z = 1 - i^{2025}$ ，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）

A、i B、 $- 1$ C、 $- i$ D、1

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12、记 $|M|$ 表示有穷集合 $M$ 的元素个数．已知 $m, n$ 是正整数，集合 $S = \{1, 2, \dots, n\}$ ．若集合序列 $Q : A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 满足下列三个性质，则称 $Q$ 是“平衡序列”：
① $|A_{k}| \geq 2$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, m$ ；
② $A_{k}$ ⫋ $S$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, m$ ；
③对于 $S$ 中的任意两个不同元素 $i, j$ ，都存在唯一的 $k \in \{1, 2, \dots, m\}$ ，使得 $\{i, j\} \subseteq A_{k}$ ．

(1)、设 $m = n = 5$ ，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
$Q_{1} : \{1, 2\}, (1, 3, 4, 5), \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}$
$Q_{2} : \{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}$

(2)、已知 $n \geq 3$ 且集合序列 $Q : A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 是“平衡序列”，对于 $i = 1, 2, \dots, n$ ，定义： $B_{i} = \{k ∣ i \in A_{k}, k = 1, 2, \dots, m\} .$ 证明：
（i）当 $1 \notin A_{1}$ 时， $|B_{1}| \geq |A_{1}|$ ；
（ii） $m \geq n$ ．

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13、已知函数 $f (x) = e^{- x} ln (x + 1) - a x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上的极值点个数；

(3)、若 $s, t \in (- 1, + \infty)$ 且 $s + t \leq 0$ 时，都有 $f (s) + f (t) \leq 0$ 成立，直接写出 $a$ 的取值范围．

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ．设直线 $l : y = x + m$ 交椭圆 $C$ 于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $P$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $|A B|$ 的值；

(2)、若点 $Q$ 满足 $|P Q| = 3$ 且 $|Q A| = |Q B|$ ，求 $∠ A Q B$ 的大小．

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15、某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
颜色
小学生
初中生
高中生
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
黑色
80
20
40
20
20
20
白色
60
40
30
30
30
10
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．

(1)、从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率 $p$ ；

(2)、从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记 $X$ 为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、假设该市 $A$ 学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为 $2 : 2 : 1$ ，从 $A$ 学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为 $p_{A}$ ，试比较 $p_{A}$ 与（1）中的 $p$ 的大小．（结论不要求证明）

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16、如图1，五边形 $A B C E F$ 中， $A C$ $/ /$ $E F, A C ⊥ C E, A B ⊥ B C, A C = 2 B C = 2 C E = 4$ ．将三角形 $A B C$ 沿 $A C$ 翻折，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C E F$ ，如图2．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、记直线 $A F$ 与平面 $B E F$ 所成角为 $θ$ ．若 $sin θ = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $E F$ 的长．

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17、已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{3} - 2 ω x) + 2 {sin}^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ．

(1)、若 $ω = \frac{1}{2}$ ，求 $f (0)$ 及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定，求 $f (x)$ 的最小正周期．
条件①： $f (0) + f (\frac{π}{6}) = 0$ ；
条件②： $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 的一个极值点；
条件③： $x = \frac{7 π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一个零点．

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18、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $P$ 、 $Q$ 为上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ （包含边界）内的两个动点，且满足 $P Q = 1$ ， $P Q // A B$ ．给出下面四个结论：
①当 $P$ 与 $D_{1}$ 重合时，五面体 $P Q A B C D$ 的体积为 $\frac{10}{3}$ ；
②记直线 $A A_{1}$ 分别与平面 $P A D$ 和平面 $Q B C$ 所成角为 $α$ 、 $β$ ，则 $tan α + tan β$ 的值不变；
③存在 $P$ 、 $Q$ ，使得 $D P ⊥ B Q$ ；
④存在 $P$ 、 $Q$ ，使得五面体 $P Q A B C D$ 中， $A B C D$ 所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 4}$ ，则 $f (x)$ 的值域为，曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为．

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $A (2 cos θ, 2 sin θ)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 可得到点 $B$ ，则 $|A B| =$ ，点 $A, B$ 到直线 $l : x = 2$ 的距离之和的最大值为．

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颜色	小学生		初中生		高中生
颜色	愿意	不愿意	愿意	不愿意	愿意	不愿意
黑色	80	20	40	20	20	20
白色	60	40	30	30	30	10