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相关试卷

1、甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件 $A_{1}$ 为“取出的是红球”，事件 $A_{2}$ 为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件 $B$ 为“取出的两球都是红球”，事件 $C$ 为“取出的两球为一红一白”，则（）

A、 $P (A_{1} B) = \frac{5}{18}$ B、 $P (C |A_{2}) = \frac{4}{9}$ C、 $P (B) = \frac{11}{27}$ D、 $P (C) = \frac{14}{27}$

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2、我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）

A、由“第 $n$ 行所有数之和为 $2^{n}$ ”猜想： $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ B、由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： $C_{n + 1}^{r} = C_{n}^{r - 1} + C_{n}^{r}$ C、 $C_{2}^{2} {+C}_{3}^{2} {+C}_{4}^{2} + \dots {+C}_{10}^{2} = 165$ D、第29行中从左到右第14与第15个数相等

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3、已知随机事件 $A, B$ 满足： $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则下列选项错误的是（）

A、若 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{12}$ C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{2}$ D、若 $P (\bar{A}) P (B |\bar{A}) = \frac{1}{12}$ ，则 $P (B ∣ A) = \frac{1}{4}$

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4、若函数 $f (x) = k x + e^{2 x}$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 e^{2}, + \infty)$ B、 $[- 2 e^{- 2}, + \infty)$ C、 $[- e^{2}, + \infty)$ D、 $[- e^{- 2}, + \infty)$

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5、某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（）

A、60种 B、54种 C、48种 D、36种

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6、已知随机变量 $X$ 的分布列如图，则 $E (X) =$ （）
$x$
1
2
3
$p$
$\frac{1}{3}$
$a$
$\frac{1}{2}$

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、 $\frac{13}{6}$

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7、已知函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $3 x - y + 2 = 0$ ，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 4$ B、3 C、4 D、8

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设点M为直线 $l : x = 3$ 与x轴的交点，点B为直线 $l : x = 3$ 上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q；
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②设 $⊙ N$ 经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得 $∠ P N Q = 90 °$ ？若存在，求 $|B M|$ ；若不存在，请说明理由．

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9、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = f (e^{x})$ ，若 $g (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = A C = P C = 2$ ， $P A = P B = \sqrt{2}$ ． $M$ 是线段 $P C$ 上的点．

(1)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面ABC；

(2)、若 $M$ 为线段 $P C$ 的中点，求直线 $P M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $M Q ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Q$ 为垂足，当三棱锥 $M - A B Q$ 体积最大时，求平面 $A B M$ 与平面 $A B P$ 的夹角的余弦值．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 1$ ；数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} + 3 = 3 b_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意的正整数n，不等式 $\frac{4}{3} T_{n} - 1 < λ \cdot 9^{n}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 2$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $- 2$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最值．

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13、任何有理数 $\frac{m}{n}$ 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为 $\frac{m}{n}$ 的形式，从而是有理数：则无限循环小数 $1. \dot{5} =$ （写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列 $\{a_{n}\}$ ，设数列 $b_{n} = \frac{1}{(10^{n + 1} - 1) \cdot (a_{n} - 1)}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} =$ ．

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14、根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，且语文和数学考试成绩互不影响，则语文和数学至少有一科及格的概率为．

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15、函数 $f (x) = 5 x - \ln x$ 的单调递减区间是．

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16、已知直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均为2， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，动点M满足 $\vec{B M} = λ \vec{B D} + μ \vec{B B_{1}}$ （ $0 \leq λ \leq 1$ ， $0 \leq μ \leq 1$ ），则下列说法正确的是（）

A、 $M D_{1} ⊥ A C$ B、当 $λ = 0$ ， $μ = 1$ 时，三棱锥 $M - B C D$ 的外接球的体积为 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ C、若直线DM与直线 $C A_{1}$ 所成角为定值，则M点轨迹为圆的一部分 D、记点M到直线AC的距离为d，当 $λ + μ = 1$ 时，则d的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，…称为正方形数．记三角形数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，正方形数构成数列 $\{b_{n}\}$ ，且数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $b_{8} = 64$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $S_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ D、1275既是三角形数，又是正方形数

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18、函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列命题中正确的是（）

A、 $- 3$ 和 $- 1$ 是函数 $y = f (x)$ 的极值点 B、 $- 1$ 是函数 $y = f (x)$ 的最小值点 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上单调递增 D、 $y = f (x)$ 在 $x = - \frac{3}{2}$ 处切线的斜率大于零

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19、已知正实数x，y满足 $\frac{x}{3} + 3 y - 2 = \ln x + \ln y$ ，则 $x + y =$ （）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{10}{3}$

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20、已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若 $B F ⊥ A C$ ，若 $| B F | = 3 | C F |$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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$x$	1	2	3
$p$	$\frac{1}{3}$	$a$	$\frac{1}{2}$