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相关试卷

1、已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， $A B ∥ C D$ ， AD＝CD＝1，∠BAD＝120°， $P A = \sqrt{3}$ ， ∠ACB＝90°．

(1)、求证：BC⊥平面PAC；

(2)、求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．

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2、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 3, 2)$ ．
（ $1$ ）若 $t \overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 垂直，求实数 $t$ 的值；
（ $2$ ）若 $k \overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $2 \overset{⃑}{a} - 4 \overset{⃑}{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $k$ 的取值范围．

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3、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 $r$ 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是.

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4、已知复数 $z$ 在复平面内对应的点在射线 $y = 2 x (x \geq 0)$ 上，且 $|z| = \sqrt{5}$ ，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为．

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5、化简 $\overset{⇀}{A C} -$ $\overset{⇀}{B D} +$ $\overset{⇀}{C D} -$ $\overset{⇀}{A B}$ =

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6、在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} C ⊥ B D$ B、直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C D$ 所成的角为 $30 °$ C、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B D$ 的体积为 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ D、 $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $P$ 是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 内的动点．若 $M P$ ∥平面 $A B_{1} C$ ，则 $M P$ 的最大值为 $4 \sqrt{2}$

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7、对于 $△ A B C$ ，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ， $△ A B C$ 是钝角三角形 B、若 $A > B$ ，则 $sin A > \sin B$ C、若 $b = 8, c = 10, B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 D、在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积

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8、已知某圆锥的侧面积为 $4 π$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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9、已知在“斜二测”画法下， $△ A B C$ 的直观图是一个边长为4的正三角形，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $8 \sqrt{6}$ C、 $16 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10、已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，平面 $α$ ， $l_{1} / / l_{2}$ ， $l_{1} / / α$ ，那么 $l_{2}$ 与平面 $α$ 的关系是（）

A、 $l_{2} / / α$ B、 $l_{2} ⊥ α$ C、 $l_{2} / / α$ 或 $l_{2} \subset α$ D、 $l_{2}$ 与 $α$ 相交

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11、已知复数 $z = \frac{2 i + 1}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、定义函数 $T_{n} (x)$ 满足 $T_{n} (cos x) = cos n x$ ，且 $T_{n} (x)$ 的定义域均为 $[- 1, 1]$ ， $n \in N^{*}$ ．已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} T_{1} (x) \cdot [T_{2} (x) + 1] ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及其定义域；

(2)、证明： $\frac{f (x)}{x^{2}} < e^{x} + cos x - 2$ ；

(3)、若 $x_{1}$ ， $x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ 是 $y = f (x) - a$ 的两个零点，证明： $a (\frac{2}{x_{1}^{3}} + \frac{1}{x_{2}^{3}}) < - 1$ ．

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13、高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为 $1, 2, \dots, 7$ ，用 $X$ 表示小球最后落入格子的号码．

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入 $X$ 号格子得到的奖金为 $Y$ 元，其中 $Y = \{\begin{array}{l} 10, X = 1 或 7 \\ 5, X = 2 或 6 \\ 1, X = 3 或 5 \\ 0, X = 4 \end{array}$ ，你觉得小州同学能盈利吗？

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14、已知 $f (x) = {(2 x + 3)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为512，且 ${(2 x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x + 2) + a_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + a_{n} {(x + 2)}^{n}$ ．

(1)、求 $n$ 和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 的值；

(2)、若 $0 \leq a < 6$ ， $a \in N$ 且 $f (20) + a$ 被6整除，求 $a$ ．

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - x$ ，当 $x = a$ 时， $f (x)$ 取得极小值．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的最大值和最小值．

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16、某种产品的加工需要经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 共5道工序．

(1)、如果 $A$ 工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？

(2)、如果工序 $B$ 和 $C$ 工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？

(3)、如果 $A$ 和 $B$ 工序相邻， $C$ 和 $D$ 不能相邻，那么有多少种加工顺序？

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17、曲线 $y = \frac{a}{x} (a > 0)$ 与 $y = ln x$ 和 $y = e^{x}$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，设曲线 $y = ln x$ 在 $A$ 处的切线斜率为 $k_{1}$ ， $y = e^{x}$ 在 $B$ 处的切线斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = \frac{10}{3}$ ，则 $a =$ ．

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18、在 $(2 x^{2} + x - 1) {(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

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19、如果随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (- 1 \leq X \leq 1) = 0.2$ ，则 $P (X \geq 3) =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x = e$ 是函数 $f (x)$ 定义域内的极小值点 B、 $f (x)$ 的单调减区间是 $(0, e)$ C、 $f (x)$ 在定义域内既无最大值又无最小值 D、若 $f (x) = m$ 有两个不同的交点，则 $m > e$

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