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相关试卷

1、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin^{2} A - 2 \sin A \cos B \sin C + \sin^{2} C = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求角 $B$ 的值．

(2)、求 $\frac{a + c}{2 b}$ 的取值范围．

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2、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；用过 $A, B, C$ 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为.

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3、某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为．（结果用最简分数表示）

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4、某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人.

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5、已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{x}^{2}$ ；第二部分样本数据 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $s_{y}^{2}$ ，设 $\bar{x} \leq \bar{y}, s_{x}^{2} \leq s_{y}^{2}$ ，则以下命题正确的是（）

A、设总样本的平均数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{x} \leq \bar{z} \leq \bar{y}$ B、设总样本的平均数为 $\bar{z}$ ，则 ${\bar{z}}^{2} \geq \bar{x} \cdot \bar{y}$ C、设总样本的方差为 $s^{2}$ ，则 $s_{x}^{2} \leq s^{2} \leq s_{y}^{2}$ D、若 $m = n, \bar{x} = \bar{y}$ ，则 $s^{2} = \frac{s_{x}^{2} + s_{y}^{2}}{2}$

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6、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 2 A A_{1} = 4$ ， $∠ B_{1} B C = \frac{π}{3}$ ，棱 $B_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点分别为D，E，点P在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动（包含边界），且 $A P = 2 \sqrt{7}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ B、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{50 \sqrt{2}}{3}$ C、 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、动点P形成的轨迹长度为 $\frac{4 π}{3}$

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7、已知 $O (0, 0)$ ， $P_{0} (1, 0)$ ， $P_{1} (\cos α, \sin α)$ ， $P_{2} (- \cos β, \sin β)$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $α + β = π$ ，则 $\vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{0}} = \vec{O P_{2}} \cdot \vec{O P_{0}}$ B、若 $α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\vec{O P_{1}} ⊥ \vec{O P_{2}}$ C、若 $|\vec{P_{0} P_{1}}| = |\vec{P_{0} P_{2}}|$ ，则 $α = - β$ D、若 $\vec{O P_{0}} + \vec{O P_{2}} = \vec{O P_{1}}$ ，且 $α$ ， $β$ 均为锐角，则 $α = β = \frac{π}{3}$

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8、“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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9、圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为 $23 °$ （ $∠ A B C$ ）和 $83 °$ （ $∠ A D C$ ）．设表高 $A C$ 为1米，则影差 $B D \approx$ （）（参考数据： $\sin 16 ° \approx 0.276$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、2.016米 B、2.232米 C、2.428米 D、2.614米

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10、某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（）

A、64 B、65 C、66 D、67

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11、在直角梯形ABCD中， $A B // C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 3$ ， $A D = C D = 2$ ， M是CD的中点，N在BC上，且 $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\cos ⟨\vec{B M}, \vec{D N}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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12、从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（）

A、恰好有1件次品和恰好有2件次品 B、至少有1件次品和全是次品 C、至少有1件正品和至少有1件次品 D、至少有1件次品和全是正品

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13、已知直线 $m$ ， $n$ ，平面 $α$ ，则“ $m // α$ ， $n ∥ α$ ”是“ $m ∥ n$ ”的（）条件．

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要

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14、 $\frac{| 3 - 4 i |}{3 + 4 i} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 的图象如图所示，点 $B$ ， $D$ ， $F$ 为 $f (x)$ 与 $x$ 轴的交点，点 $C$ ， $E$ 分别为 $f (x)$ 的最高点和最低点，而函数 $f (x)$ 的相邻两条对称轴之间的距离为 $2$ ，且其在 $x = - \frac{1}{2}$ 处取得最小值.

(1)、求参数 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、若 $A = 1$ ，求向量 $2 \vec{B C} - \vec{C D}$ 与向量 $\vec{C B} + 3 \vec{C D}$ 的夹角；

(3)、若点 $P$ 为 $f (x)$ 函数图象上的动点，当点 $P$ 在 $C$ ， $E$ 之间运动时， $\vec{B P} \cdot \vec{P F} \geq 1$ 恒成立，求 $A$ 的取值范围.

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16、如图，平行四边形 $O A D B$ 的两条对角线相交于点C，点 $M, N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，且 $|\vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}|$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $M N ⊥ A B$ ，求 $∠ A O B$ ．

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17、已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x, \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x, 2 \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称轴；

(2)、若 $f (x) < \frac{m}{10}$ 在 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 上有解，求整数m的最小值．

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18、在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ， ② $7 \sin 2 α = 8 \sqrt{3} \cos α$ ， ③ $\tan \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， _____， $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ .
（1）求 $\sin (α + \frac{5 π}{6})$ 的值；
（2）求 $β$ .

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19、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 6$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$

(3)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

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20、已知 $\tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，求

(1)、 $\sin α, \cos α$ 及 $\tan α$ 的值；

(2)、 $\sin (α - \frac{π}{4})$

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