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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x - x$ ．

(1)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x) \leq - 1$ ；

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2、为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在 $[0, 140]$ ，将得分数据按照 $[0, 20)$ ， $[20, 40)$ ， …， $[120, 140]$ 分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；

(3)、若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在 $[100, 120)$ 内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在 $[120, 140]$ 内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ P B C = 45 °$ ， $P A = \sqrt{2}$ ， $A B = B C = P B = 2$ ， $A D ⊥ B C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，点 $E$ 为 $P A$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $B E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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4、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图， $P (\frac{2}{3}, 0)$ 和 $Q (\frac{11}{3}, - \sqrt{3})$ 均在函数 $f (x)$ 的图象上，且Q是图象上的最低点．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ， $x_{0} \in [\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$ ，求 $\cos \frac{π x_{0}}{2}$ 的值．

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5、已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $|2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}|$ ；

(2)、求 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ 在 $\vec{e_{1}}$ 上的投影向量（用 $\vec{e_{1}}$ 表示）．

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6、如图，点 $P$ 是棱长为 $3$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $\vec{A_{1} E} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} B_{1}}$ ， $\vec{A_{1} F} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} D_{1}}$ ， $B_{1} P ∥$ 平面 $A E F$ ，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $A - P E F$ 的体积是定值 B、存在一点 $P$ ，使得 $C_{1} P ⊥ A_{1} C$ C、动点 $P$ 的轨迹长度为 $5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10}$ D、五面体 $E F - A B D$ 的外接球半径为 $\frac{\sqrt{211}}{6}$

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7、对于直线m，n和平面 $α$ ， $β$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $m // α$ ， $n // α$ ， m，n共面，则 $m // n$ B、若 $m \subset α$ ， $n // α$ ， m，n共面，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ β$ ，且 $α // β$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m ⊥ α$ ，且 $m // β$ ，则 $α ⊥ β$

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8、已知 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 均为单位向量，则 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ 是 $|\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}| = |2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + \cos x - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、当 $x \in [α, \frac{2 π}{3}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ ，求 $α$ 的取值范围.

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10、某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为 $p (x) = \frac{1}{4} x^{2} + 100 x + 16$ （万元）．

(1)、若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)、现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量 $q (m) = \{\begin{matrix} 8 m (40 - m), 1 \leq m \leq 30 \\ 2000, m > 30 \end{matrix}$ （单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？

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11、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ 上的值域．

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12、已知幂函数 $f (x) = x^{m^{2} + m + 1} (m \in N^{*})$ 的图象经过点 $(2, 8) .$

(1)、试确定m的值；

(2)、判断该函数的奇偶性并证明；

(3)、求满足条件 $f (2 - a) > f (a - 1)$ 的实数a的取值范围.

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式，并写出其单调增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上的值域．

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14、已知函数 $f (x) = \log_{a} x + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象恒过定点A，若角 $α$ 终边经过点A，则 $\sin 2 α + \sin (α + \frac{3 π}{2}) =$ .

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(x - a)}^{2}, x \leq 0, \\ x + \frac{1}{x} - a, x > 0, \end{array}$ 若 $f (0)$ 是函数 $f (x)$ 的最小值，则实数a的取值范围为．

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16、若函数 $f (x) = x^{4} + b x^{3} + a x^{2} + 2$ 是定义在 $[1 - 3 a, a]$ 上的偶函数，则 $a + b =$ ．

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17、函数 $y = \sqrt{\log_{2} (2 x - 4)}$ 的定义域为.

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18、设函数 $f (x) = |\sin x| + |\cos x| (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为周期函数，其中一个周期为 $\frac{π}{2}$ C、 $f^{2} (x) > 1$ D、 $f (x)$ 的值域为 $[1, \sqrt{2}]$

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19、下列函数中，在区间(1， $\frac{3}{2}$ )上为增函数的是（）

A、 $y = 2^{x + 1}$ B、 $y = {log}_{2} (x - 1)$ C、 $y = x |x - 2|$ D、 $y = tan x$

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20、我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深 $C D = \sqrt{2} - 1$ ，锯道 $A B = 2$ ，则图中 $\overset{⌢}{A C B}$ 的长度为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $π$ D、 $\sqrt{2} π$

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