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相关试卷

1、下列命题正确的是（）

A、已知变量 $x$ ， $y$ 的线性回归方程 $\hat{y} = 0.3 x - \bar{x}$ ，且 $\bar{y} = 2.8$ ，则 $\bar{x} = - 4$ B、数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的 $75 %$ 分位数为11 C、已知随机变量 $X ~ B (7, 0.5), P (X = k)$ 最大，则 $k$ 的取值为3或4 D、已知随机变量 $X ~ N (0, 1), P (X \geq 1) = p$ ，则 $P (- 1 < X < 0) = \frac{1}{2} - p$

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2、已知 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 上两点．若 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 1$ ，则 $x_{1} + x_{2} + y_{1} + y_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ D、 $[- 2, 2]$

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3、公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示，则 $\csc 10^{°} - \sqrt{3} \sec 10^{°}$ =（）

A、4 B、8 C、 $\sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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4、 ${(8 - \sqrt{7} x)}^{9}$ 展开式中系数为无理数的项共有（）

A、2项 B、3项 C、4项 D、5项

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $E :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中心 $O$ 作斜率为 $\sqrt{2}$ 的一条弦 $A B$ ，将坐标平面沿 $x$ 轴折成一个直二面角.

(1)、求折起后的连线 $A B$ 与 $x$ 轴所成夹角的大小；

(2)、若此椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，且过点 $Q (0, 1)$ ，求：
（ⅰ）椭圆 $E$ 的标准方程；
（ⅱ）设点 $T (2, 0)$ ，过点 $T$ 作平面 $x O y$ 的垂线 $T P$ ，且 $T P = 2$ ，问：椭圆 $E$ 上是否存在点 $M$ ，使得三角形 $P Q M$ 的面积与三角形 $T Q M$ 的面积之比为最小？若存在，求点 $M$ 坐标；若不存在，请说明理由.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{4}{3}$ ， $a_{n + 1} a_{n} - 3 a_{n + 1} + 2 = 0 (n \in N^{*})$ .

(1)、计算 $a_{2}, a_{3}$ 的值；

(2)、记 $c_{n} = a_{n} - 1$ ，证明：数列 $\{\frac{1}{c_{n}} - 1\}$ 为等比数列；

(3)、记 $b_{n} = \frac{n^{2}}{n + 1} a_{n}$ ，求使 $[b_{1}] + [b_{2}] + [b_{3}] + \dots + [b_{m}] \leq 2025 - m$ 成立的 $m$ 的最大值（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）.

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7、已知函数 $f (x) = x e^{a x} (a \in R)$ ， $g (x) = \ln x - x + b (b \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有极大值点 $1$ ，且 $x > 0$ 时 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求 $b$ 的取值范围.

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8、已知△ $A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上的点且 $∠ B A D = ∠ C A D$ ， $△ A B D$ 面积是 $△ A C D$ 面积的 $3$ 倍.

(1)、求 $\frac{\sin B}{\sin C}$ 的值；

(2)、若 $A D = 1$ ， $C D = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $∠ C$ 和 $△ A B D$ 的面积.

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9、加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图：
其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为 $1 : 2$ ，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为 $3 : 4$ ．
（1）根据频率分布直方图的数据，将下面的 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关；
学习成绩视力情况
视力正常
近视
合计
成绩优秀
成绩一般
合计
（2）将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视的学生数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635

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10、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ .对于 $t \in D$ ，定义集合 $S_{f (t)} = \{x |f (x) \geq f (t)\}$ .已知函数 $f (x) = ln \frac{x}{2 - x} + m x$ .若对于任意的 $t_{1} < t_{2} \in D$ ，都有 $S_{f (t_{2})} \subseteq S_{f (t_{1})}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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11、设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (0, 2)$ . 若线段 $F A$ 的中点 $B$ 在抛物线上，则焦点 $F$ 到准线的距离为.

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12、已知 $f (\bar{z + i}) = 2 z + \bar{z} + i$ ，则 $f (i) =$ .

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13、在边长为 $4$ 的正三角形 $A B C$ 中， $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 上的动点（不含端点），将 $△ A E F$ 沿着 $E F$ 翻折至 $A_{0} E F$ ，则（）

A、四棱锥 $A_{0} - B C F E$ 必存在一个外接球 B、当 $E F$ ∥ $B C$ 时，四棱锥 $A_{0} - B C F E$ 体积的最大值是 $\frac{16}{9} \sqrt{3}$ C、当 $E F$ 是 $△ A B C$ 的中位线，且 $A_{0} B ⊥ C F$ 时，则 $△ A_{0} B C$ 是等腰直角三角形 D、当 $E F$ 是 $△ A B C$ 的中位线，且 $A_{0} B ⊥ C F$ 时，四棱锥 $A_{0} - B C F E$ 外接球表面积是 $16 π$

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + \cos (2 x + φ), φ \in (0, π)$ 的最大值为 $2$ ，则下列说法中，正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ D、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调递减

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15、下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.6$ ， $P (B) = 0.7$ ，则 $P (A \cup B) = 0.88$ B、样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11 C、某分层抽样有 $2$ 层，第 $1$ 层样本数为 $25$ ，其平均数和方差分别为 $176$ 和 $14$ ，第 $2$ 层样本数为 $15$ ，其平均数和方差分别为 $160$ 和 $30$ ，则总方差为 $80$ D、已知一系列样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3...)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(m, 3)$ 与点 $(2, n)$ 的残差相等，则 $2 m + n = 7$

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16、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右焦点，过双曲线 $C$ 上一点 $P$ 作切线 $P T$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，若 $∠ F_{2} P T = 30^{\circ}$ ， $∠ F_{2} T P = 45^{\circ}$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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17、如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（）

A、 $12$ B、 $16$ C、 $20$ D、 $24$

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18、设三棱锥 $V - A B C$ 的底面是正三角形，侧棱长均相等， $P$ 是棱 $V A$ 上的点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $A C$ 所成角为 $α$ ，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $β$ ，二面角 $P - A C - B$ 的平面角为 $γ$ ，则

A、 $β < γ, α < γ$ B、 $β < α, β < γ$ C、 $β < α, γ < α$ D、 $α < β, γ < β$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15}$ ，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 取到最小值时 $n$ 的值是（）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $9$

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20、已知向量 $\vec{b} = (1, 2)$ ，向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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学习成绩视力情况	视力正常	近视	合计
成绩优秀
成绩一般
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635