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相关试卷

1、某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以 $[10, 20)$ ， $[20, 30)$ ， $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ 分组的频率分布直方图如图所示，年薪在 $[50, 60)$ 的毕业生人数比年薪在 $[10, 20)$ 的毕业生人数多22人．

(1)、求直方图中x，y的值；

(2)、①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；
②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E (ξ)$ ．

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2、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x, y \in R$ ，恒有 $f (x) + f (y) = 2 f (\frac{x + y}{2}) \cdot f (\frac{x - y}{2})$ .若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (- 1) =$ ， $\sum_{n = 1}^{2024} f (n) =$ .

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3、要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是．

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4、随机变量 $X$ ， $X ~ N (10, 9)$ ，随机变量 $Y = 2 X - 3$ ，则 $E (Y) =$ ， $D (Y) =$ .

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5、意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： $f (x) = a \cosh (\frac{x}{a})$ ，其中 $a$ 为曲线顶点到横坐标轴的距离， $\cosh x$ 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应地，双曲正弦函数的表达式为 $\sinh x =$ $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．若直线 $x = m$ 与双曲余弦函数 $C_{1}$ 双曲正弦函数 $C_{2}$ 的图象分别相交于点 $A$ ， $B$ ，曲线 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线 $l_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 在点 $B$ 处的切线 $l_{2}$ 相交于点 $P$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $\cosh (x - y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$ B、 $y = \sinh x \cosh x$ 是偶函数 C、 $(\cosh x)^{'} = \sinh x$ D、若 $△ P A B$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形，则实数 $m = 0$

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6、已知点 $P$ 为双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 上的任意一点，过点 $P$ 作渐近线的垂线，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，则（）

A、 $|P E| + |P F| = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $|P E| \cdot |P F| = \frac{4}{5}$ C、 $\vec{P E} \cdot \vec{P F} = - \frac{12}{25}$ D、 $S_{△ P E F}$ 为定值 $\frac{8}{25}$

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7、已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为 $s_{1}^{2}$ ，平均数 $\bar{x_{1}}$ ；最大和最小两个数据的方差为 $s_{2}^{2}$ ，平均数 $\bar{x_{2}}$ ；原样本数据的方差为 $S^{2}$ ，平均数 $\bar{x}$ ，若 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ，则（）

A、剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变 B、 $\bar{x} = {\bar{x}}_{1}$ C、剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数 D、 $S^{2} = \frac{4}{5} s_{1}^{2} + \frac{1}{5} s_{2}^{2}$

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8、记函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $f (T) = - \frac{1}{2}$ ，且 $x = \frac{π}{2}$ 为 $f (x)$ 的一条对称轴，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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9、上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为 $\sqrt{15}$ ， $2 \sqrt{6}$ ，则该球的表面积为（）

A、32 $π$ B、36 $π$ C、40 $π$ D、42 $π$

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10、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 20$ ，对任意正整数 $n, a_{n + 1} = a_{n} - 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、77 B、76 C、75 D、74

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11、圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的以 $M (2, 1)$ 为中点的弦所在直线方程为（）

A、 $x + 2 y - 4 = 0$ B、 $x - 2 y = 0$ C、 $2 x - y - 3 = 0$ D、 $2 x + y - 5 = 0$

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ B、 $(- \frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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13、设集合 $A = \{x| |x| < 3\}$ ， $B = \{x| x = 2 k$ ， $k \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2\}$ B、 $\{- 2, 2\}$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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14、现有A，B两个不透明盒子，都装有m个红球和m个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．

(1)、若 $m = 3$ ，甲、乙、丙依次从A盒中不放回的摸出一球，设X表示三人摸出的白球个数之和，求X的分布列与数学期望；

(2)、若 $m = 1$ ，从A、B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中， $n (n \in N *)$ 次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为 $X_{n}$ ，求：
（i） $X_{2} = 1$ 的概率；
（ii） $X_{n}$ 的分布列．

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15、在直角坐标系xOy中，动圆M与圆 $C_{1} : x^{2} + 2 x + y^{2} = 0$ 外切，同时与圆 $C_{2} : x^{2} - 2 x + y^{2} - 8 = 0$ 内切，记圆心M的轨迹为E．

(1)、求E的方程；

(2)、已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ；
（i）求证：P，O，Q三点共线；
（ii）若 $P Q ⊥ P T$ ，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．

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16、已知 $a \geq 0, f (x) = \frac{\ln (1 + a x)}{x}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当n为正整数时，试比较 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}, {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n}, {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}, {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1}$ 的大小关系，并证明．

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的等边三角形， $C C_{1} = 2$ ， $D ， E$ 分别是线段 $A C$ ， $C C_{1}$ 的中点， $C_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 $D$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若点 $F$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的中点，求平面 $B D E$ 与平面 $B D F$ 夹角的余弦值．

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18、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且 $c \cos B + 2 a \cos A + b \cos C = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、如图所示，D为平面上一点，与 $△ A B C$ 构成一个四边形ABDC，且 $∠ B D C = \frac{π}{3}$ ，若 $c = b = 2$ ，求AD的最大值．

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19、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{7 π}{12})$ 上单调，且满足 $f (\frac{π}{6}) = - 1$ ， $f (\frac{3 π}{4}) = 0$ ，则 $ω =$ .

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20、已知集合 $A = \{a, a + 1\}$ ，集合 $B = \{x \in N | x^{2} - x - 2 \leq 0\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a =$ ．

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