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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n + 1} = 3 S_{n} - 2 n + 4$ ，且 $a_{1} = 4$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $f (x) = a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n}, n \in N^{*}$ ，讨论 $f^{'} (1)$ 与 $\frac{8 n^{2} + 11 n - 3}{4}$ 的大小关系；

(3)、对任意正整数 $n \in N^{*}, (1 + \frac{1}{a_{1}}) (1 + \frac{1}{a_{2}}) \dots (1 + \frac{1}{a_{n}}) < m$ 恒成立，求正整数 $m$ 的最小值．

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $E (1, \frac{3}{2})$ ，右焦点为 $F, D$ 为上顶点，以点 $D$ 为圆心且过 $F$ 的圆恰好与直线 $x = - 2$ 相切．

(1)、求C的方程；

(2)、过 $(4, 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线 $A F, B F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；

(3)、点 $M, N$ 在 $C$ 上，且 $E Q ⊥ M N, Q$ 为垂足， $|E M| \cdot |E N| = |M N| \cdot |E Q|$ ，求 $|E Q|$ 的最大值．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥ A B, P B = P D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若直线 $C P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{4}, \vec{P Q} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，求二面角 $B - A Q - C$ 夹角的余弦值．

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 b {sin}^{2} \frac{A}{2} + c = 2 b$

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、若 $A D = 3$ ，且 $D$ 是边 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 的面积最大值．

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5、2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，足球作为其中的一项团队运动项目，风䨾世界，深受大众喜欢，为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性观众各100名进行调查，得到如下 $2 \times 2$ 列联表．
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
30
70
100
合计
90
110
200

(1)、判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为喜爱足球运动与性别有关；

(2)、用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从喜爱足球运动的观众中随机抽取3名，记男性的人数为 $X$ ，求事件 $X$ 的分布列和数学期望；
$α$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．

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6、若关于 $α$ 的方程 $\frac{\cos 2 α + 1 + m \sin 2 α}{m \cos 2 α + m - \sin 2 α} = \frac{\sin^{3} α}{\cos^{3} α}$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上有且仅有一个实数解，则实数 $m =$ ．

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{n a_{n}}{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025}$ ．

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8、若随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (5, δ^{2})$ ，且 $P (η < 2) = 0.1$ ，则 $P (2 < η < 8) =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4) + m$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ （）

A、若 $f (x)$ 有三个零点，则 $0 < m < 4$ B、 $f^{'} (4 - x) = f^{'} (x)$ C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、当 $x \geq 0, f (x) \geq 0$ 时，则 $m \geq 4$

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10、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $|z_{1}| = 1$ ，则 $z_{1} = i$ B、 $\forall z_{1}, z_{z} \in C, |z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ C、 $z_{1} - z_{2} > 0$ 是 $z_{1} > z_{2}$ 的充要条件 D、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}, z_{2}$ 中至少有一个为0

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11、已知对任意的 $a$ ， $b \in R$ 都有 $(b - a) e^{b - a} \geq b e^{- b} - λ a$ 恒成立，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $e$ B、1 C、0 D、 $- e$

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12、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, △ P A B$ 为等腰三角形，且 $∠ A P B = 120^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}, A C = 4, ∠ B A C = 90^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $32 π$ B、 $64 π$ C、 $80 π$ D、 $128 π$

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13、已知在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $A (- 2, 1), B (- 2, 2)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $Q$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上一动点，且点 $Q$ 在直线 $x = - 2$ 上的投影为 $R$ ，则 $|P B| + \sqrt{2} |P Q| + \sqrt{2} |Q R|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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14、已知 $(1 + a x) {(2 - x)}^{4} (a \in R)$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为17．则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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15、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, \vec{b} = (2, 2), | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{51}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ D、 $(- 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2})$

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16、已知函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{3})$ ，现将函数 $f (x)$ 的图象横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变得到函数 $g (x)$ ，则 $g (\frac{π}{6})$ 值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、若 $x > 1$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{8}{x - 1}$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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18、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 3}{x + 1} \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} + x - 2 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 3]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- 1, 2]$ D、 $(- 1, 1]$

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19、如图所示， $M$ 、 $D$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右顶点，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过 $M$ 点作两条互相垂直的直线 $M A$ ， $M B$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $△ D A B$ 面积的最大值.

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20、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $△ O C D$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，且 $V_{A - B C D} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ．

(1)、证明： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、在棱 $A D$ 上是否存在点 $E$ ，使二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $45^{\circ}$ ？若存在，并求出 $\frac{A E}{E D}$ 的值．

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	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男性	60	40	100
女性	30	70	100
合计	90	110	200

$α$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828