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相关试卷

1、设函数 $f (x) = (x - a) \ln (x + b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，且 $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a b} + \frac{b}{a}$ 的最小值为.

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2、如图，“六芒星”是由两个边长为 $3 cm$ 的正三角形组成，中心重合于点O，且三组对边分别平行，现将三角形 $D E F$ 往垂直于平面 $A B C$ 的方向移动 $2 cm$ ，则此时空间几何体 $A B C D E F$ 的外接球的表面积为 ${cm}^{2}$ .

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3、样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的 $80 %$ 分位数为.

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4、在圆锥SO中， $C$ 是母线SA上靠近点 $S$ 的三等分点， $S A = l$ ，底面圆O的半径为 $r$ ，圆锥SO的侧面积为 $12π$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 3$ 时，过顶点 $S$ 和两条母线的截面三角形的最大面积为 $3 \sqrt{7}$ B、当 $l = 6$ 时，从点 $A$ 绕圆锥侧面一周到点 $C$ 的最小长度为 $2 \sqrt{13}$ C、当 $l = 6$ 时，圆锥SO的内切球的表面积为 $8 π$ D、当 $l = 6$ 时，棱长为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ 的正四面体可以在圆锥SO内任意转动

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5、已知函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x + 3$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[- \frac{π}{12} + k π, \frac{5}{12} π + k π]$ ， $k \in Z$ B、 $y = f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位，再向上平移3个单位得到 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11 π}{12}$ 对称 D、当 $x \in [- \frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是 $[1, 5]$

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6、已知 $z = 3 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，下列说法正确的是（）

A、 $z = 3 - 2 i$ 的实部为 $3$ ，虚部为 $- 2 i$ B、 $p = - 6$ C、 $q = 13$ D、若复数 $z_{1}$ 满足 $|z_{1} + z| = 1$ ，则 $|z_{1}|$ 的最大值为 $1 + \sqrt{13}$

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7、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = c - 2 a \cos B$ ，则 $\frac{12 \sin^{2} A}{4 \sin A - \sin C}$ 的取值范围为（）

A、 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(2 \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $[2 \sqrt{2}, 3]$ D、 $(2 \sqrt{2}, 3)$

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8、设 $△ A B C$ 的外心为O，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $| \vec{A C} | = | \vec{A O} |$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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9、端午节是每年的五月初五，是我国汉族人民的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子，赛龙舟，熏艾叶，挂菖蒲等.某学校组织学生进行包粽子比赛，包法有很多种，最常见的是三角粽和四角粽.已知小明只会这两种包法，每次包三角粽的概率为 $\frac{3}{4}$ ，每次包四角粽的概率为 $\frac{1}{4}$ .包一个三角粽记1分，包一个四角粽记2分，每次的包法互不影响，则小明恰好获得3分的概率为（）

A、 $\frac{51}{64}$ B、 $\frac{41}{64}$ C、 $\frac{27}{64}$ D、 $\frac{6}{16}$

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10、设m、 $n$ 为空间中两条不同直线， $α 、 β$ 为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m$ 不垂直于 $α$ ， $n \subset α$ ，则 $m$ 必不垂直于 $n$ C、若 $m / / α$ ， $α // β$ ，则 $m / / β$ D、若 $m$ 、 $n$ 是异面直线， $m \subset α$ ， $m / / β$ ， $n \subset β$ ， $n // α$ ，则 $α / / β$

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11、已知 $θ$ 为第三象限角，向量 $\vec{a} = (\sin θ, 1)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 2)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} + 2 \vec{a}$ 共线，则 $\sin θ$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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12、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，则下列结论正确的是（）

A、A与B相等 B、A与B互斥 C、A与B的样本点个数不相等 D、A与B相互独立

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13、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，用斜二测画法画出它的直观图，则它的直观图的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、4 C、2 D、 $16 \sqrt{2}$

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14、设 $z_{1} = 2 + i$ ， $z_{2} = 3 + 4 i$ ，则 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{5}$

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15、混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位： $MPa$ ）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 10)$ 分别为 $2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 14, 17, 21$ 时的抗压强度 $y_{i}$ 的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{w}$
        $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
        $\sum_{i = 1}^{10} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$
        $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
        $\sum_{i = 1}^{10} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
9.4
29.7
2
366
5.5
439.2
55
表中 $w_{i} = ln x_{i}, \bar{w} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} w_{i}$ ．

(1)、根据散点图判断 $y = a + b x$ 与 $y = c + d ln x$ 哪一个适宜作为抗压强度 $y$ 关于龄期 $x$ 的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度 $f_{28}$ 视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为 $40 MPa$ ．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度 $f_{7}$ 与第28天的抗压强度 $f_{28}$ 具有线性相关关系 $f_{28} = 1 ． 2 f_{7} + 7$ ，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
参考数据： $ln 2 \approx 0.69, ln 7 \approx 1.95$ ．

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16、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{x^{2}}{2} - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知 $f (x)$ 有两个极值点.
（ⅰ）求 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）若 $f (x)$ 的极小值小于 $ln 2 - 3$ ，求 $f (x)$ 的极大值的取值范围.

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17、已知二项式 ${(x + 3 x^{2})}^{n}$ ．

(1)、若 $x = 1$ ， $n = 2024$ ，求二项式的值被7除的余数；

(2)、若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．

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18、某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为千万元．
$(\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x})$
年号 $x$
1
2
3
4
5
年生产利润 $y$ （单位：千万元）
0.7
0.8
1
1.1
1.4

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19、某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为： $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 85)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ，且 $P (70 \leq X \leq 100) = 0.7$ ，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为．

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 f^{'} (3) x - 1$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f (3 + x) - f (3)}{x} =$ ， $f (x)$ 的最小值为．

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$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{10} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
9.4	29.7	2	366	5.5	439.2	55

年号 $x$	1	2	3	4	5
年生产利润 $y$ （单位：千万元）	0.7	0.8	1	1.1	1.4