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相关试卷

1、如图，已知O是 $△ A B C$ 内部任意一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ， $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ．根据上述结论，则（）．

A、如果 $4 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，那么 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 2 : 3 : 4$ B、如果 $\vec{A O} = \frac{3}{7} \vec{A B} + \frac{2}{7} \vec{A C}$ ，那么 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 2 : 3 : 2$ C、如果O为 $△ A B C$ 的重心，那么 $S_{A} = S_{B} = S_{C}$ D、如果O为直角 $△ A B C$ 的内心，且两直角边 $B C = 5$ ， $A C = 12$ ，那么 $5 \vec{O A} + 12 \vec{O B} + 13 \vec{O C} = \vec{0}$

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2、某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件 $A =$ “决赛两人来自同一个班”，事件 $B =$ “决赛两人来自不同班”，事件 $C =$ “先进行半决赛两人来自同一个班”，事件 $D =$ “后进行半决赛两人来自不同班”．则（）．

A、 $P (A \cup B) = 1$ B、A与B互斥但不对立 C、C与D对立 D、 $P (A) + P (B) = P (C) + P (D)$

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3、已知样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的样本平均数为 $\bar{x}$ ，样本方差为 $s^{2} (x)$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，这组新样本数据的样本平均数为 $\bar{y}$ ，样本方差为 $s^{2} (y)$ ，其中 $y_{i} = 2 x_{i} + 5 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则（）．

A、两组样本数据的样本平均数满足 $\bar{y} = 2 \bar{x} + 5$ B、两组样本数据的样本方差满足 $s^{2} (y) = 4 s^{2} (x)$ C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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4、已知甲船在小岛B正东方向4海里的C处，乙船在小岛B正南方向3海里的A处．甲船沿北偏西 $60 °$ 方向直线航行．若乙船要与甲船会合，则乙船航行的最短里程为（）．

A、 $(2 \sqrt{3} + \frac{3}{2})$ 海里 B、 $(2 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ 海里 C、 $(2 \sqrt{3} - \frac{3}{2})$ 海里 D、 $(3 + \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ 海里

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5、在某次考试成绩中随机抽取50个，成绩均在 $[50, 100]$ 之间，将这些成绩共分成五组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，由图中数据估计总体的众数和中位数（中位数精确到个位）分别是（）．

A、65，70 B、65，71 C、65，72 D、65，73

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6、已知 $\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots + {(- 1)}^{k - 1} \times \frac{x^{2 k - 1}}{(2 k - 1)!} + \dots (x \in R, k \in N^{*})$ ，其中 $n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$ ．若函数 $f (x) = \cos (x + \frac{π}{6})$ ， $\frac{1}{5!} \approx 0.008333$ ， $\frac{1}{7!} \approx 0.000198$ ，结果精确到小数点后4位，则 $f (\frac{π}{3} - 1) =$ （）．

A、0.5394 B、0.8419 C、0.8415 D、0.5398

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7、下列计算不正确的是（）．

A、 $\cos 22 ° \sin 52 ° - \sin 158 ° \cos 52 ° = - \frac{1}{2}$ B、 $sin 15 ° sin 75 ° = \frac{1}{4}$ C、 ${cos}^{2} 75 ° - {sin}^{2} 75 ° = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{tan 88 ° - tan 43 °}{1 + tan 88 ° tan 43 °} = 1$

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8、已知复数 $z = - \frac{i}{1 - 2 i}$ ，则z的虚部为（）．

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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9、设 $△ A B C$ 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $\cos C = - \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）．

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、12 D、 $8 \sqrt{3}$

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10、将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件 $A =$ “两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（）．

A、20 B、25 C、50 D、无法确定

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11、已知向量 $\vec{a} = (m, 6)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）．

A、 $- 18$ B、18 C、2 D、 $- 2$

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12、2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表．
组号
分组
频数
频率
1
$[0, 5)$
5
0.05
2
$[5, 10)$
a
0.35
3
$[10, 15)$
30
b
4
$[15, 20)$
20
0.20
5
$[20, 25]$
10
0.10
合计

100
1

(1)、求a，b的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）；

(2)、根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）；

(3)、现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数 $\bar{x} = 7$ ，方差 $s^{2} = 2$ ，第5组得分的平均数 $\bar{y} = 7$ ，方差 $t^{2} = 1$ ，则这6人得分的平均数 $\bar{a}$ 和方差 $σ^{2}$ 分别为多少（方差精确到0.01）？

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ D A B = 60 °$ ， $A C$ ， $B D$ 交于点N， $△ P A D$ 为等腰直角三角形， $P A = P D$ ，点M为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $M N$ //平面 $P A D$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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14、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ ．
（1）求 $f (x)$ 的单调增区间；
（2）当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域．

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15、（1）已知 $x = 2 + i$ 满足 $x^{2} + b x + c = 0$ ，求实数 $b$ ， $c$ 的值．
（2）已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 2, 0)$ ，求 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 上的投影向量的坐标．

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16、已知 $sin (α + \frac{π}{6}) - cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $cos (2 α + \frac{2 π}{3}) =$ ．

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17、已知 $A$ ， $B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $A B = 2$ ，过 $A B$ 作互相垂直的两个平面截球得到圆 $O_{1}$ 和圆 $O_{2}$ ，若 $∠ A O_{1} B = 90^{\circ}$ ， $∠ A O_{2} B = 60^{\circ}$ ，则球的表面积为.

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18、如图，正方形 $O' A' B' C'$ 的边长为1 $cm$ ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长为．

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19、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A A_{1} = 1$ ， E，F分别是棱BC，AC上的动点（不包括端点），且满足 $E F = \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、存在点E，使得 $∠ B_{1} E F = 90 °$ B、直线 $E F$ 与 $A_{1} B_{1}$ 异面 C、三棱锥 $C - B_{1} E F$ 体积最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、二面角 $E - B_{1} C_{1} - F$ 的最大值为60°

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，则 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ D、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积没有最大值

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组号	分组	频数	频率
1	$[0, 5)$	5	0.05
2	$[5, 10)$	a	0.35
3	$[10, 15)$	30	b
4	$[15, 20)$	20	0.20
5	$[20, 25]$	10	0.10
合计		100	1