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相关试卷

1、如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图

注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022.

(1)、由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；

(2)、建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{9} y_{i} = 15.41, \sum_{i = 1}^{9} t_{i} y_{i} = 82.57, \sqrt{\sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 0.72, \sqrt{15} \approx 3.873$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i} - n \bar{t} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .
回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ .

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2、某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：
产品等级
一等品
二等品
三等品
样本数量（件）
50
30
20

(1)、若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；

(2)、若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数， $Y$ 为这3件产品的利润总额．
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望 $E (Y)$ ．

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3、一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共10个，其中黑球有4个，现从中不放回的取球，每次取1球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率为．

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4、已知x＜ $\frac{5}{4}$ ，则f(x)＝4x－2＋ $\frac{1}{4 x - 5}$ 的最大值为

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} e^{x}, x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{2}}, x \geq 1 \end{array}$ ，给出下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在4个极值点 B、 $f^{'} (\frac{5}{2}) > f^{'} (\frac{1}{2}) > f^{'} (\frac{3}{2})$ C、若点 $P (x_{1}, y_{1}) (x_{1} < 1), Q (x_{2}, y_{2}) (x_{2} \geq 1)$ 为函数 $f (x)$ 图象上的两点，则 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{4 e - e^{2}}{4}$ D、若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是 $(\frac{2}{e^{2}}, \frac{e^{2}}{8}) \cup (\frac{e}{2}, + \infty)$

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6、（多选题）下列说法正确的是（）

A、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 $\frac{1}{2}$ C、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n = 8$ D、从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 $\frac{45}{91}$

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7、已知实数 $a, b, c$ 满足 $a > b > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a - c} > \frac{1}{b - c}$ B、 $a - c > 2 b$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a b + b c > 0$

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8、某货车为某书店运送书籍，共 $10$ 箱，其中 $5$ 箱语文书、 $3$ 箱数学书、 $2$ 箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的 $9$ 箱书中随机打开 $2$ 箱，结果是 $1$ 箱语文书、 $1$ 箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{8}$

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9、正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，可以证明，对给定的 $k \in N^{*}, P (μ - k σ \leq X \leq μ + k σ)$ 是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：

通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩 $ξ$ 基本服从正态分布 $ξ ~ N (105, 10^{2})$ .若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在 $(105, 125)$ 的考生人数大约为（）

A、341 B、477 C、498 D、683

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10、已知一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 85.7$ ，则在样本点 $(165, 57)$ 处的残差为（）

A、 $- 2.45$ B、2.45 C、3.45 D、54.55

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11、从 $7$ 本不同的书中选 $3$ 本送给 $3$ 个人，每人 $1$ 本，不同方法的种数是（）

A、 $C_{7}^{3}$ B、 $A_{7}^{3}$ C、 $3^{7}$ D、 $7^{3}$

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12、函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $5$

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13、设 $a \in R$ ， $f (x) = a cos x + a^{2} sin 2 x$ ，函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，判断函数 $y = f (\frac{π}{2} - x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、求证：函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的最小值为 $- 2 a^{2} - |a|$ ；

(3)、若对任意的 $x \in R, f (x) \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足以下条件：① $\{a_{n}\}$ 是严格增数列；② $\{a_{n}\}$ 的各项均为自然数；③ $a_{1} = 0, a_{2} = 1$ .设集合 $A = \{x ∣ x = a_{i} + a_{j}, i \neq j\}$ .

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 共有4项，且 $a_{3} = 2, a_{4} = 4$ ，用列举法表示集合 $A$ ；

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 为无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对一切正整数 $n$ 都有 $S_{n} < a_{n + 1}$ 成立，求证：对任意不小于3的正整数 $n$ ，不等式 $S_{n} > 2^{n - 2}$ 都成立；

(3)、设数列 $\{a_{n}\}$ 为有穷数列，若 $[1, 27] \cap Z \subseteq A$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 项数的最小值.

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15、某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图， $A$ 是锂矿， $B$ 是钴矿，直线 $l$ 是一条河流. $A ､ B$ 两点在直线 $l$ 上的投影分别为 $C ､ D$ 两点.已知 $A C = 3$ ， $B D = 4, \tan ∠ B A C = - 7$ .假设工厂建在线段 $C D$ 上（包含端点）的点 $E$ 处，设 $C E = x$ .

(1)、求 $A B$ 的长.

(2)、若沿线段 $A E$ 与 $B E$ 建两条公路用于矿产运输，且要求 $∠ A E B$ 是钝角，求 $x$ 的取值范围.

(3)、若要建设公路连接 $A ､ B ､ E$ 三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知 $∠ A E B$ 的最大值约为 ${90.58}^{\circ}$ .）

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16、设 $i$ 是虚数单位， $m ､ k \in R . α ､ β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 + m i) x + k = 0$ 的两根，且满足 $|α| + |β| = 3$ .

(1)、若 $α = 2 + \sqrt{5} i$ ，求 $m$ 与 $k$ 的值；

(2)、若 $m = 0$ ，求 $k$ 的值.

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17、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{9} = - 1, S_{9} = 27$ .

(1)、求 $d$ 的值；

(2)、当 $n$ 为何值时 $S_{n}$ 最大，并求出此最大值.

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18、设实数 $k > 0$ ，对于函数 $y = k sin x, x \in [0, π]$ 的图象上的点 $P (a, b)$ ，记 $|O P| = f (a)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、不存在 $k$ ，使得 $y = f (a)$ 在区间 $[0, π]$ 上不是单调函数 B、存在 $k \in (0, 1)$ ，使得 $y = f (a)$ 在区间 $[0, π]$ 上不是单调函数 C、存在 $k \in [1, \sqrt{π})$ ，使得 $y = f (a)$ 在区间 $[0, π]$ 上不是单调函数 D、以上说法都不正确

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19、设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 1$ .函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（）个.
① $3 a + 2 b = 0$ ；
②对任意的 $m < 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(m, f (m))$ 处的切线一定与曲线 $y = f (x)$ 有两个公共点；
③若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有三个不同的根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且这三个根构成等差数列，则 $k = 1$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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20、 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.则“ $A > B$ ”是“ $a +sin A > b +sin B$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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产品等级	一等品	二等品	三等品
样本数量（件）	50	30	20