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相关试卷

1、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B D ⊥ A_{1} C$ ，且 $E, F, H$ 分别为线段 $B B_{1}, A_{1} B, A D$ 的中点.

(1)、证明： $|A_{1} B| = |A_{1} D|$ .

(2)、证明：平面 $E F H$ $∥$ 平面 $A_{1} C D$ .

(3)、若 $A B = 2 A_{1} B_{1}, A A_{1} = 1, ∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，当 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成的角最大时，求四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积 $V$ .

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2、已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于 $M$ 的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于 $M$ 的零件用于小型机器中.

(1)、若 $M = 60$ ，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.

(2)、若 $M \in (60, 70]$ ，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于 $M$ 的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于 $M$ 的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值 $H (M)$ （单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.

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3、在 $△ A B C$ 中， $1 + sin A sin B = {cos}^{2} B - {sin}^{2} A + {sin}^{2} C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 在边 $A B$ 上， $D C ⊥ C B$ ，且 $A C = \sqrt{3}, A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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4、已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示.

(1)、求第 $10 \sim 19$ 届亚运会中国队获得的金牌数的极差；

(2)、剔除第 $12$ 届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；

(3)、设第 $10 \sim 12$ 届亚运会中国队获得的金牌数的方差为 $s_{1}^{2}$ ，第 $13 \sim 15$ 届亚运会中国队获得的金牌数的方差为 $s_{2}^{2}$ ，不通过计算，试比较 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小，并说明理由.

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5、为促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校开发出文化艺术课程､科技课程､体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为 $x, y, z, m, n (x < y < z < m < n, x, y, z, m, n \in N^{*})$ .已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 $z - 9 =$ .

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\sqrt{3}, λ), \vec{c} = (4 \sqrt{3}, - 3)$ ．若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ ；若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $3 \sqrt{3} \vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为.

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7、复数 $(2 + i^{3}) i$ 的虚部为．

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8、刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{2}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $2π - 3 \times \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ ．如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 2, A A_{1} = \frac{3}{2}$ ，点 $C$ 的曲率为 $\frac{π}{3}, D, E, F$ 分别为 $A C, A B, A_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B F / /$ 平面 $A_{1} D E$ B、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A$ 的曲率为 $\frac{5π}{6}$ C、在四面体 $A_{1} A D E$ 中，点 $E$ 的曲率小于 $π$ D、二面角 $A_{1} - D E - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$

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9、一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论正确的是（）

A、“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件 B、“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件 C、“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件 D、“女生B周六去参观博物馆”与“女生B周日去参观博物馆”是互斥事件

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10、若 $z = k^{2} - 2 k + k i (k \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $z$ 为实数，则 $k = 0$ B、若 $z i = 1 + 3 i$ ，则 $k = 3$ C、若 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限，则 $k > 3$ D、若 $z + \bar{z} = - 2$ ，则 $|z| = \sqrt{2}$

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11、 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点， $∠ A B P = 45 °, ∠ P B C = ∠ P C B = ∠ A C P = 30 °$ ，则 $\tan ∠ B A P =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，且 $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{O A} = \vec{0}$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{O A}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{O A}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{O A}$ D、 $\vec{O A}$

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13、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{200}$ 的平均数为 $14$ ，样本数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{600}$ 的平均数为 $a$ ，若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{200}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{600}$ 的平均数为 $a + 1$ ，则 $a =$ （）

A、12 B、10 C、2 D、11

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14、一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在 $[0.2, 0.8)$ 内的频率为0.75，则样本中的数据在 $[0.4 ， 0.8)$ 内的个数为（）

A、225 B、295 C、235 D、305

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15、如图所示， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}, \vec{D C} = 4 \vec{D H}$ ，则 $\vec{B H} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{7}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{3}{5} \vec{B C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{5}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{5}{6} \vec{B C}$

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16、已知在 $R$ 软件的控制台中，输入“ $sample (1 : 20, 4$ ， $replace = F$ ）”，按回车键，得到的4个1~20范围内的不重复的整数随机数为 $12, 6, 10, 4$ ，则这4个整数的标准差为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{10}$ C、40 D、10

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17、为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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18、命题“ $\forall x \in [1, 2], x^{2} - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a \leq 5$ D、 $a \geq 5$

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19、给出下列命题：
①“ $a = 2$ ”是“ $\{1, a\} \subseteq \{1, 2, 3\}$ ”的充分非必要条件；
②“函数 $y = {cos}^{2} a x - {sin}^{2} a x$ 的最小正周期为 $π$ ”是“ $a = 1$ ”的充要条件；
③“平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角”的充要条件是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”.
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）

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20、焦点在 $x$ 轴上，焦距为 $2 \sqrt{15}$ ，且经过点 $(- 4, 0)$ 的椭圆的标准方程为.

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