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相关试卷

1、刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ．如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C 1$ 中，点A的曲率为 $\frac{2 π}{3}$ ， N，M分别为AB， $C C_{1}$ 的中点，且 $A B = A C$ ．

(1)、证明： $C N ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(2)、证明：平面 $A M B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(3)、若 $A A_{1} = 2 A B$ ，求二面角 $A - M B_{1} - C_{1}$ 的正切值．

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2、中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， $A A_{1}$ 垂直于底面， $A A_{1} = 5$ ，底面扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，弧 $A D$ 的长度是弧 $B C$ 长度的3倍， $C D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、弧 $A D$ 长度为 $\frac{3}{2} π$ B、曲池的体积为 $\frac{10 π}{3}$ C、曲池的表面积为 $20 + 14 π$ D、三棱锥 $A - C C_{1} D$ 的体积为5

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3、如图，一架高空侦察飞机以 $600 m/s$ 的速度在海拔 $16000 m$ 的高空沿水平方向飞行，在 $A$ 点处测得某山顶 $M$ 的俯角为 $45^{\circ}$ ，经过 $15 s$ 后在 $B$ 点处测得该山顶的俯角为 $75^{\circ}$ ，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（）（ $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、 $2436 m$ B、 $3706 m$ C、 $3200 m$ D、 $3146 m$

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4、已知函数 $f (x) = a \ln (x + 1) - x e^{x + 1}$ .

(1)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在正零点 $x_{0}$ ，
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）记 $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的极值点，证明： $x_{0} < 3 x_{1}$ .

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5、已知当 $x > 0$ 时， $e^{x \ln x} - x \ln x \geq a$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(1, e^{2}]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[e, + \infty)$

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6、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作是每天的“进步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${1.01}^{365} \approx 37.7834$ ；而把 ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作是每天的“退步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${0.99}^{365} \approx 0.0255$ ．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的 $\frac{{1.01}^{365}}{{0.99}^{365}} \approx 1482$ 倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（）（参考数据： $lg 101 \approx 2.0043, lg 99 \approx 1.9956, lg 2 \approx 0.3010$ ）

A、70天 B、80天 C、90天 D、100天

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7、“ $m = - 1$ 或 $m = 4$ ”是“幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m^{2} + m - 3}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（）．

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $\tan C = \frac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B}$

(1)、求 $2 a + b$ 的取值范围

(2)、求 $△ A B C$ 内切圆的半径的最大值

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10、牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 $θ_{1}^{\circ} C$ ，环境温度为 $θ_{0}^{\circ} C$ ，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ （单位： $^{\circ} C$ ）满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ .已知环境温度为 $20^{\circ} C$ ，一块面包从温度为 $120^{\circ} C$ 的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为 $70^{\circ} C$ ，那么大约再经过多长时间，温度降为 $30^{\circ} C$ ？（参考数据： $ln 2 \approx 0.7, ln 3 \approx 1.1, ln 5 \approx 1.6$ ）（）

A、33分钟 B、28分钟 C、23分钟 D、18分钟

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11、已知函数 $f (x), g (x), h (x)$ 的定义域均为 $R$ ．定义：①若存在 $n$ 个互不相同的实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，使得 $f (g (x_{i})) = h (f (x_{i})) (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则称 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ “ $n$ 维交换”；②若对任意 $x \in R$ ，恒有 $f (g (x)) = h (f (x))$ ，则称 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ “任意交换”．

(1)、判断函数 $g (x) = x + 1$ 与 $h (x) = x - 1$ 是否关于 $f (x) = x^{2}$ “ $n$ 维交换”，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = a (x^{2} + 2) (a \neq 0), g (x) = x^{2} + b x - 1$ ，若存在函数 $h (x)$ ，使得 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ “任意交换”，求 $b$ 的值；

(3)、设 $g (x) = k | x^{2} - 2 x |, h (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ x^{2} - 1, x < 0 \end{array}$ ，若 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x) = x$ “3维交换”，求实数 $k$ 的值．

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12、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = 9$ ，其余各棱的长均为6，点 $E$ 在棱 $A C$ 上， $A E = 2 E C$ ，过点 $E$ 的平面与直线 $C D$ 垂直，且与 $B C, C D$ 分别交于点 $F, G$ ．

(1)、求线段 $F G$ 的长度；

(2)、求二面角 $A - C D - B$ 的余弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $D E F$ 的距离．

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13、已知实数 $a < 0$ ，设函数 $f (x) = {cos}^{2} x + a sin 2 x - a^{2}$ ，且 $f (\frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$ ．

(1)、求实数 $a$ ，并写出 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个零点，求 $cos 2 x_{0}$ ．

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14、如图，点 $P, Q$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $D C, B C$ 上的点， $A B = 2, A D = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{B Q} = λ \vec{B C}, 0 \leq λ \leq 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的取值范围；

(2)、若 $P$ 是 $D C$ 的中点， $M_{1}, M_{2}, \cdot \cdot \cdot, M_{2024}$ 依次为边 $A B$ 的2025等分点．求 $|\vec{P A} + \vec{P M_{1}} + \vec{P M_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \vec{P M_{2024}} + \vec{P B}|$ 的值．

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15、设函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用定义证明结论；

(2)、若 $x \in [\frac{1}{2}, 3]$ ，求函数 $g (x) = \frac{f (x^{2})}{f^{2} (x)}$ 的值域．

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16、一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为 $6 \sqrt{3}$ 的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为．

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17、已知 $x + ln y = 1$ ，则 $e^{x} + y$ 的最小值为．

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18、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{- a, a^{2} + 3\}$ ．若 $A \cup B = \{1, 2, 4\}$ ，则实数 $a =$ ．

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 以坐标原点 $O$ 为顶点，以 $x$ 轴的非负半轴为始边，其终边经过点 $P (a, b), |O P| = m (m \neq 0)$ ，定义函数 $f (θ) = \frac{a + b}{m}$ ，则（）

A、 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $y = f (θ)$ 的一条对称轴 B、函数 $y = f (θ) f (- θ)$ 是周期为 $π$ 的函数 C、 $f (θ) + f^{2} (θ) \leq 2 + \sqrt{2}$ D、若 $a = 2 b$ ，则 $\frac{1 + f (2 θ)}{1 - f (- 2 θ)} = 2$

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20、如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为 $α, β (α < β)$ ，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（）

A、每一个直角三角形的面积为1 B、 $sin α = 2 sin β$ C、 $cos α = 2 cos β$ D、 $cos (α - β) = \frac{4}{5}$

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