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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + \cos x - x, x \in (- 1, π)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 零点的个数．

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2、已知点P在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点 $P^{'}$ ， $|P P^{'}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得 $|P P^{'}| = 4, |P Q| = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l的斜率为k（k≠0），直线 $Q P^{'}$ 的斜率为 $k^{'}$ ，求 $k \cdot k^{'}$ 的值．

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3、如图，在四棱锥P﹣ABCD中， $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， M，N分别是PC，AD的中点， $P N ⊥$ 平面ABCD，且 $P N = B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面BMN；

(2)、求二面角C﹣BM﹣N的正弦值．

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4、已知函数 $f (x) = \sin^{4} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{4} x + a$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $3$ ．

(1)、求常数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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5、如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有种最短路径的走法．

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6、若 $\sin 2 α + \cos^{2} α = - \frac{1}{2}, α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ ，则 $\tan α =$ ．

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7、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}$ ，则 $S_{8} =$ ．

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8、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = g (x)$ ，且 $g (x) = x^{3} - 3 x + 2$ ，则（）

A、点 $(0, 2)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的对称中心 B、函数 $g (x)$ 有三个零点 C、函数 $f (x)$ 只有一个极值点 D、当 $x + 1 > 0$ 时， $f (e^{x}) \geq f (x + 1)$

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9、已知点M是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的动点，当M运动到达点 $M_{0} (x_{0}, 2)$ 时， $M_{0}$ 到焦点F的距离等于5，过动点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，过定点 $P (2, - 1)$ 作与C有且仅有一个公共点的直线l，直线PF与C交于点A，B，则（）

A、抛物线C的方程为 $x^{2} = 12 y$ B、直线l的方程为 $x - y - 3 = 0$ 或 $x + 3 y + 1 = 0$ C、 $|A B| = 60$ D、满足 $|M N| = |M P|$ 的点M有且仅有2个

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10、已知正实数a，b，满足 $e^{a} + e^{b - 1} \geq \frac{1}{e^{a}} + \frac{1}{e^{b - 1}}$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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11、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，点 $O$ 是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则直线 $A O$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \tan x + a, - \frac{π}{2} < x < 0 \\ e^{x} + \ln (x + 1) - \frac{1}{x + 1}, x \geq 0 \end{array}$ 的值域为R ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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13、若直线 $l : 2 x - y = 0$ 是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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14、从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（）

A、指标值在区间 $[195, 205)$ 的产品约有33件 B、指标值的极差介于50与70之间 C、指标值的第60百分位数大于205 D、指标值的方差的估计值是150

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15、已知命题p： $\exists x \in (0, + \infty), x + \frac{1}{x} - a < 0$ ．若p是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 2$ B、 $a < 2$ C、 $a \geq 2$ D、 $a \leq 2$

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16、设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = {(1 + i)}^{2}$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知 $A = \{x + 1, x^{2} - 1\}$ ， $B = \{4, 8\}$ .

(1)、求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $A = B$ 时，求实数 $x$ 的值.

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18、德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率 $y$ 随时间 $t$ （小时）变化的趋势可由函数 $y = 1 - 0.6 t^{0.27}$ 近似描述，则记忆率为 $50 %$ 时经过的时间约为（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.30, lg 3 \approx 0.48$ ）

A、2小时 B、0.8小时 C、0.5小时 D、0.2小时

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19、已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {l o g}_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = {l o g}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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20、已知集合 $A = \{x| \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 32\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 4 x + 4 - m^{2} \leq 0, m \in R\}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若存在正实数m，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.

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