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相关试卷

1、某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 的距离的倒数之和等于1的点 $P$ 的轨迹，如图所示，则（）

A、 $\sqrt{2} \leq |P F_{1}| \leq 2 + \sqrt{2}$ B、 $|P O|$ 的最小值为2 C、当点 $P$ 不在坐标轴上时，点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的外部 D、当点 $P$ 的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ 时， $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 随着 $|x_{0}|$ 的增大而增大

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2、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 3 x (a > 0)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象上不存在关于 $(0, - 1)$ 对称的两点 D、当 $f (x)$ 的极小值大于 $- 7$ 时， $a$ 的取值范围为 $(0, \frac{9}{4})$

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3、某汽车公司为了宣传 $A, B$ 两款新能源汽车，邀请8名业内人士试驾，就新款汽车的驾乘感受进行评分，最高分数为10分.试驾结束后，评分如下表：
A
9.9
9.5
9.6
9.4
9.7
9.8
9.9
9.7
B
9.7
9.5
9.8
9.7
9.7
9.9
9.8
9.6
下列说法正确的是（）

A、A，B两款汽车评分数据的众数相同 B、A，B两款汽车评分数据的中位数相同 C、若将评分数据乘以10，则新数据的方差为原数据的方差的10倍 D、A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差小于原数据的极差

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4、设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x + cos x - \sqrt{\frac{x}{2}}$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $E : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相等的焦距，离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则 $e_{2} - e_{1}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6、已知 $0 < a < 1 < b$ ，则（）

A、 $b^{a} < a^{b} < a^{a} < b^{b}$ B、 $a^{b} < a^{a} < b^{a} < b^{b}$ C、 $b^{b} < a^{b} < a^{a} < b^{a}$ D、 $a^{b} < b^{a} < a^{a} < b^{b}$

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7、已知动点 $P$ 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）

A、 $16 - 4 π$ B、 $4 + π$ C、 $4 + 2 π$ D、 $12 - 2 π$

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8、已知两个不同的平面 $α, β$ ，一条直线 $m$ ，下列命题是假命题的是（）

A、若 $α$ $∥$ $β, m$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $α$ $∥$ $β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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10、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x < 2\}, B = \{y \in N ∣ y = x^{3}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[0, 2)$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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11、已知 $a \in R, i$ 是虚数单位， $(a + 2 i) (a - 2 i) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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12、对于给定的数列 $\{c_{n}\}$ ，如果存在实常数 $p 、 q$ ，使得 $c_{n + 1} = p c_{n} + q$ 对于任意 $n \in N^{*}$ 都成立，我们称数列 $\{c_{n}\}$ 是“优美数列”．

(1)、若 $a_{n} = 2 n, b_{n} = 3 \cdot 2^{n}, n \in N^{*}$ ，数列 $\{a_{n}\} 、 \{b_{n}\}$ 是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数 $p 、 q$ ，若不是，请说明理由；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} + a_{n + 1} = 3 \cdot 2^{n} (n \in N^{*})$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 是“优美数列”，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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13、考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：
成绩
性别
合格
不合格
合计
男性
45
10

女性
30

合计

105

(1)、完成此表；

(2)、根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由.
参考公式：①相关性检验的临界值表：
$P (k^{2} \geq x_{0})$
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.10
$x_{0}$
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
②卡方值计算公式： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .其中 $n = a + b + c + d$ .

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $D A // C B$ ，且 $∠ P A B = 120 °$ ， $D A = P A = 2$ ， $A B = C B = 1$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $P C = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、求证： $B E //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上是否存在点 $K$ ，使得平面 $K E B$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P K}{K D}$ 的值；若不存在，说明理由.

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15、已知椭圆 $E$ 的中心在坐标原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $y$ 轴上，点 $P (- \frac{3}{2}, 1)$ 在 $E$ 上，长轴长与短轴长之比为 $2 : \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程．

(2)、设 $A$ 为 $E$ 的下顶点，过点 $B (0, 4)$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $E$ 相交于 $C, D$ 两点，且点 $C$ 在线段 $B D$ 上．若点 $M$ 在线段 $C D$ 上， $∠ A M D = 2 ∠ B A M$ ，证明： $| B C | \cdot | M D | = | B D | \cdot | C M |$ ．

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16、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上的值域.

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17、某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为 $4 %$ ，乙生产线的次品率为 $7 %$ ，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为．

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18、在正六棱锥 $P - A B C D E F$ 中， $A B = 2$ ， $P A = 2 \sqrt{5}$ ，则此正六棱锥的侧面积为；该正六棱锥的外接球的表面积为.

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19、在 ${(\sqrt{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为，各项系数之和为．

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20、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 关于直线 $x = - 1$ 对称， $g (3 + 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f^{'} (- 1) = 0$ B、 $g (2023) + g (- 2025) = 1$ C、 $g (3) = 0$ D、 $g (2023) = 0$

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成绩性别	合格	不合格	合计
男性	45	10
女性	30
合计			105

$P (k^{2} \geq x_{0})$	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.10
$x_{0}$	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

A	9.9	9.5	9.6	9.4	9.7	9.8	9.9	9.7
B	9.7	9.5	9.8	9.7	9.7	9.9	9.8	9.6