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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $2 π$ 不是 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x) = 1$ 成立的充要条件是 $x = \frac{π}{8} + k π$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 的图象可通过 $y = sin 2 x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}]$ 上单调递减

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2、已知向量 $\vec{a} = (- 1,2), \vec{b} = (0,3)$ ，如果向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - x \vec{b}$ 垂直，则实数 $x$ 的值为(　　)

A、1 B、－1 C、 $\frac{17}{24}$ D、－ $\frac{17}{24}$

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l 与抛物线W： $x^{2} = 2 y$ 相切于点P ，且与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 交于A，B两点.

(1)、当P 的坐标为 $(2, 2)$ 时，求 $|A B|$ ；

(2)、若点G 满足 $\vec{G O} + \vec{G A} + \vec{G B} = \vec{0} ，$ 求 $△ G A B$ 面积的最大值.

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4、为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按 $[0, 20), [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100]$ 分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体

没有抗体

合计

(1)、填写完成上面的 $2 \times 2$ 列联表（单位：只），并根据列联表及 $α = 0.025$ 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.

(2)、为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率 $p$ ；
（ii）以（i）中确定的概率 $p$ 作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量 $X$ ，当 $X = k$ 时， $P (X = k)$ 取得最大值，求 $k$ .
参考公式： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）
$P (X^{2} \geq k_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
$k_{0}$
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

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5、已知函数 $f (x) = \ln (x + a)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x - 2 y = 0$ 平行.
（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）令 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求函数 $g (x)$ 的单调区间.

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6、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $c \cos B + b \cos C = a \sin (B + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、设 $a = 2$ ， $c = 3$ ，求 $cos (2 B - A)$ 的值．

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = A B$ ，点 $E$ 为 $P B$ 的中点，点 $F$ 为 $D C$ 的中点，(《九章算术》中有一词“鳖臑”，对“鳖臑”的解说：即四个面都是直角三角形的三棱锥.)

(1)、证明： $E F ∕ ∕$ 平面 $P A D$ ；

(2)、请你判断三棱锥 $P - A B C$ 是否为“鳖臑”，若是请给出证明过程，若不是请说明理由.

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8、若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \{\begin{cases} |x^{2} - 1|, 0 \leq x \leq 2 \\ f (x - 1), x > 2 \end{cases}$ ，若方程 $f (x) = k x$ 恰有4个不同的根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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9、等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5}$ ， $a_{21}$ 是方程 $x^{2} + 11 x + 5 = 0$ 的两根，则 $\frac{a_{7} a_{19}}{a_{13}}$ 的值为.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \sqrt{a_{n}^{2} + 1}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2024} > a_{2023}$ B、 $\{\frac{1}{a_{n}^{2}}\}$ 为递增数列 C、 $4 a_{n + 1}^{2} - 1 = 4 a_{n + 1} a_{n}$ D、 $a_{2024}^{2} < 1013$

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11、已知x，y∈R ，且 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ <0，则（）

A、x-y>0 B、sinx-siny>0 C、 $2^{x} - 2^{y}$ >0 D、 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ >2

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12、函数 $f (x) = \frac{\sin 2 x}{e^{\sin 2 x}} (0 < x < \frac{π}{2})$ ，设球O的半径为 $f (x) \cos (x - \frac{π}{4})$ ，则（）

A、球O的表面积随x增大而增大 B、球O的体积随x增大而减小 C、球O的表面积最小值为 $\frac{4 π}{e^{2}}$ D、球O的体积最大值为 $\frac{4 π}{3 e^{3}}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $\{a_{n}\}$ 为常数列”是“ $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} = n a_{n}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、设奇函数 $f (x)$ ， $(x \in R)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) + f (x) > 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0)$ B、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

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15、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图像如图所示，其中 $M (\frac{π}{3}, 2), N (\frac{4 π}{3}, 0)$ 为图像上两点，将函数 $f (x)$ 图像的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{8}$ ，再向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $g (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[- \frac{11 π}{2} + 16 k π, \frac{3 π}{2} + 16 k π] (k \in Z)$ B、 $[\frac{3 π}{2} + 16 k π, \frac{17 π}{2} + 16 k π] (k \in Z)$ C、 $[\frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2}] (k \in Z)$ D、 $[- \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}] (k \in Z)$

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16、已知O为 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{O A} + \sqrt{3} \cdot \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ A O C$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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17、若过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 是抛物线的顶点，则 $Δ A B O$ 是（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上都有可能

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18、若复数 $z$ 满足 $(3 + 4 i) z = |4 - 3 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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19、举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（）

A、28 B、23 C、18 D、16

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20、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ 且 $cos C + (cos B - \sqrt{3} sin B) cos A = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $b + c$ 的取值范围.

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抗体	指标值		合计
抗体	小于60	不小于60	合计
有抗体
没有抗体
合计

$P (X^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.100	0.050	0.025
$k_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024