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相关试卷

1、已知 $x, y \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin x = \frac{3}{5}, \cos y = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos (x - y) =$ （）

A、 $\frac{8}{65}$ B、 $\frac{16}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{56}{65}$

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2、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $\log_{2} a > \log_{2} b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x \leq 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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4、在平面直角坐标系中，定义点A到直线 $l$ 的距离为 $d (l, A)$ . $△ A B C$ 的3个顶点坐标为 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ .记 $f (l) = {(d (l, A))}^{2} + {(d (l, B))}^{2} + {(d (l, C))}^{2}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的3个顶点坐标为 $A (0, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (3, 5)$ ， $l$ 的方程为 $2 x + y - 1 = 0$ ，求 $f (l)$ .

(2)、对于（1）中的 $△ A B C$ ，证明：当 $f (l)$ 取到最小值时， $l$ 经过 $△ A B C$ 的重心.

(3)、若存在3条不同的直线使得 $f (l)$ 取得最小值，证明此时 $△ A B C$ 为等边三角形.

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5、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，右焦点F到双曲线 $C$ 的渐近线距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $E (2, 0)$ 作直线 $l_{1}$ 交双曲线的右支于A，B两点，连接 $A O$ 并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求 $△ P A B$ 的面积的最小值；

(3)、设定点 $T (t, 0)$ ，过点T的直线 $l_{2}$ 交双曲线 $C$ 于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线 $C$ 上存在一点S，使得直线 $S M$ 的斜率与直线 $S N$ 的斜率之和为定值，求实数t的取值范围.

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6、如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $A B = 2 D E$ ， $G 、 H$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $C F ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ B C$ ， $C F = D E$ ，求平面 $E F G$ 与平面 $F G H$ 所成的锐二面角的大小.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ 且 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (2 n + 1) a_{n}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $λ (T_{n} - 2) \leq 3^{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上不具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B，以下说法正确的有（）

A、以 $A F$ 为直径的圆与y轴相切 B、以 $A B$ 为直径的圆与抛物线的准线相离 C、若点D为抛物线准线与x轴交点，则一定有 $∠ A D F = ∠ B D F$ D、过线段 $A B$ 的中点M作y轴的垂线，交抛物线于点P，交抛物线的准线于点N，则 $|P M| = |P N|$

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10、已知一组样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ ，其中 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ 为正实数.满足 $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq \cdot \cdot \cdot \leq x_{20}$ .下列说法正确的是（）

A、样本数据的第50百分位数为 $\frac{x_{10} + x_{11}}{2}$ B、已知这组数据的极差是6，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{20} - 1$ 的极差是11 C、若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D、样本数据的方差 $s^{2} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} - 16$ ，则这组样本数据的总和等于80

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11、下列命题正确的是（　　）

A、 $(e^{- x})^{'} = e^{- x}$ B、已知函数 $f (x)$ 在R上可导，且 $f^{'} (1) = 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1 - Δ x)}{Δ x} = 2$ C、若函数 $f (x), g (x)$ 都是可导函数， $y = f (x) \cdot g (x)$ ，则 $y^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$ D、一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为 $y (t) = t^{2} + 1$ ，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s

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12、已知由椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 与椭圆 $C_{2} : x^{2} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ 的交点连线可构成矩形 $A B C D$ （点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴下方），且 $B C = 3 C D$ ，则 $b^{2} + \frac{2}{a^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} + x - 3$ ，且 $\forall x_{1}, x_{2} \in [2, + \infty), x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 2$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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14、若点 $P$ 在曲线 $y = x^{3} - \sqrt{3} x$ 上，曲线在 $P$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2 π}{3}, π)$ B、 $[0, \frac{π}{2})$ C、 $[0, \frac{π}{2}) \cup [\frac{2 π}{3}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{2π}{3}]$

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15、某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为 $a (a > 0)$ ，第三年的年产量的增长率为 $b (b > 0)$ ，这两年的年产量的平均增长率为 $x$ ，则（）

A、 $x = \frac{a + b}{2}$ B、 $x \leq \frac{a + b}{2}$ C、 $x > \frac{a + b}{2}$ D、 $x \geq \frac{a + b}{2}$

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16、若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 10 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、4 B、 $2 i$ C、 $4 i$ D、2

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17、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{10} = 13$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{9} + a_{16} = 28$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d$ 为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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18、已知角 $α$ 的终边经过点P(4，－3)，则 $\cos α$ 的值等于

A、 $4$ B、 $- 3$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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19、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A C D$ 是等边三角形， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $A C$ 的中点， $P$ 是 $B D$ 上一点（不含端点）．

(1)、证明： $A D / /$ 平面 $B E F$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且球 $O$ 的表面积为 $\frac{64π}{3}$ ．
（ⅰ）求三棱锥 $A - B C D$ 的体积；
（ⅱ）求直线 $B E$ 与平面 $A C P$ 所成角的正弦值的最大值．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1}, b_{n} = 2 n - 1$

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{n b_{n}}{a_{n}}$ ，记 $\{c_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，对任意的正自然数n，不等式 $T_{n} < λ$ 恒成立，求实数 $λ$ 的范围．

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