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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (2 a - 1) e^{x} - x + \frac{1}{2}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) \leq - (e + 1) x + \frac{1}{2}$

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象始终在直线 $y = 1$ 上方，求 $a$ 的取值范围．

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2、如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点， $P$ 是 $B M$ 的中点，点 $Q$ 在线段 $A C$ 上，且 $A Q = 3 Q C$ ．

(1)、求证： $P Q //$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $△ B C D$ 为正三角形，且 $A D = C D$ ，求平面 $B M C$ 与平面 $A B D$ 夹角的正弦值．

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3、某同学每天需完成语文、数学、英语、物理、化学、政治六门作业，现需制定晚自习作业完成顺序计划，请回答以下问题．（请写出计算过程，最终答案用数字表示）

(1)、若语文和化学必须连续完成（两科作业完成顺序不限），共有多少种不同的作业完成顺序？

(2)、若文科作业（语文、英语、政治）和理科作业（数学、物理、化学）必须交替完成，共有多少种不同的作业完成顺序？

(3)、若语文作业必须在数学作业之前完成，且化学作业必须在物理作业之后完成，共有多少种不同的作业完成顺序？

(4)、若数学和语文作业必须连续完成（两科作业完成顺序不限），且数学和物理作业不得连续完成，共有多少种不同的作业完成顺序？

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4、已知过点 $(2, b)$ 不可能作曲线 $y = 2 e^{x}$ 的切线.对于满足上述条件的任意的 $b$ ，函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{ln a} - \frac{b}{2} x^{2} + e^{2} x + 1 (a > 1)$ 恒有两个不同的极值点，则 $a$ 的最大值为.

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5、在 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots + {(1 + x)}^{11}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为．（答案用数字表示）

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6、光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有种午餐安排方式．（答案用数字表示）

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3 x + 1 (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 1$ B、当 $a = - 3$ 时， $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点 C、存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 D、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 3]$ 内存在极值点，则 $a$ 的取值范围是 $(- 5, - 3)$

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8、已知二项展开式 ${(1 - x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025} = 0$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2024} = 2^{2024}$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{2025}| = 2^{2025}$

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9、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\ln 2)}^{'} = \frac{1}{2}$ B、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(\cos x)}^{'} = - \sin x$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

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10、已知 $0 < x < y < π$ ，且 $e^{y} \sin x = e^{x} \sin y$ ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $y < \frac{π}{4}$ B、 $x + y < \frac{π}{2}$ C、 $\cos x + \cos y > 0$ D、 $\sin x > \sin y$

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11、已知 $f (x) = (2 x - 3) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} + a x$ 在 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0)$

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12、“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如： $y = e^{x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线为 $y = x + 1$ ，如图所示，易知除切点 $(0, 1)$ 外， $y = e^{x}$ 图象上其余所有的点均在 $y = x + 1$ 的上方，故有 $e^{x} \geq x + 1$ .该结论可通过构造函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ 并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（）
① $\forall x > 0, e^{x - 1} \geq \ln x + 1$ ；② $\forall a \in R, \forall x \in R, e^{x} \geq e^{a} (x - a + 1)$ ；③ $\forall x \in R, \cos x \geq 1 - \frac{1}{2} x^{2}$ ；④ $\forall x > 0,$ $x e^{x} \geq x + \ln x + 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13、深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（）种分配方式

A、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3}$ B、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6}$ C、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6} A_{6}^{6}$ D、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6} A_{6}^{6} A_{6}^{6}$

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14、已知 $a = \frac{\ln 4}{4}, b = \frac{1}{e}, c = \frac{2}{3} \ln \frac{3}{2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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15、下列数中，与 $A_{m}^{5}$ 不相等的是（）

A、 $A_{5}^{5} \cdot C_{m}^{2}$ B、 $\frac{A_{m}^{m}}{A_{m - 5}^{m - 5}}$ C、 $A_{m - 1}^{5} + A_{m - 1}^{4}$ D、 $\frac{m!}{(m - 5)!}$

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16、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有四个极值点 B、 $(2, f (2))$ 为 $f (x)$ 的极大值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递减

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17、 $(a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2}) (c_{1} + c_{2} + c_{3}) (d_{1} + d_{2} + d_{3})$ 完全展开后的项数是（）

A、5 B、10 C、13 D、36

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列，记为 ${a_{n}^{(1)}}$ ，依此类推， ${a_{n}^{(1)}}$ 的一阶差数列称为 $\{a_{n}\}$ 的二阶差数列，记为 ${a_{n}^{(2)}}$ ， ...如果一个数列 $\{a_{n}\}$ 的p阶差数列 ${a_{n}^{(p)}}$ 是等比数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为p阶等比数列 $(p \in N^{*})$

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1 {， a}_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$
（i）求 $a_{1}^{(1)}$ ， $a_{2}^{(1)} ， a_{3}^{(1)}$ ·
（ii）证明： $\{a_{n}\}$ 是一阶等比数列；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 为二阶等比数列， $\{b_{n}\}$ 的前5项分别为1， $\frac{20}{9} ， \frac{37}{9} ， \frac{78}{9} ， \frac{215}{9}$ ，求 $b_{n}$

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P D ⊥ A D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面PCD；

(2)、若 $P A = 4$ ， E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．

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20、已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为．

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