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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x < 1\}$ ， $B = \{x |3 x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(\frac{1}{3}, 2]$ B、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $R$

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2、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + 2$ ， $a \in R$ .
（1）若 $a = - 2$ ，试判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用奇偶性定义证明你的结论；
（2）当 $a > 0$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；
（3）若存在 $m > 0$ 使关于x的方程 $f (| x |) = m + \frac{1}{m} + 1$ 有四个不同的实根，求实数a的取值范围.

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3、（1）计算 ${(\frac{16}{81})}^{\frac{1}{4}} + {(3 + π)}^{0} + \lg 4 + \lg 25 - e^{\ln 3}$ 的值；
（2）已知 $\tan θ = 2$ ，求 $\frac{\sin (π - θ) + \sin (\frac{π}{2} - θ)}{\cos (- θ) + \cos (\frac{3 π}{2} - θ)}$ 的值.

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4、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调 D、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $y = \cos 2 x$ 的图象

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5、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则（）

A、 $2 a + b$ 的最小值是9 B、ab的最大值是8 C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是16 D、 $\frac{2}{b - 1} + \frac{4 b}{a}$ 的最小值是4

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $\forall a, b \in [0, + \infty)$ ，且 $a \neq b$ ，都有 $\frac{a f (a) - b f (b)}{a - b} < 0$ 成立，则不等式 $f (2 - 2 \cos x) < \frac{1 + \sin x}{2 \sin^{2} x} f (\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x})$ 的解集为（）

A、 ${x | 2 k π + \frac{7 π}{6} < x < 2 k π + \frac{11 π}{6}, k \in Z}$ B、 ${x | 2 k π + \frac{π}{6} < x < 2 k π + \frac{5 π}{6}, k \in Z}$ C、 ${x | 2 k π - \frac{π}{2} < x < 2 k π - \frac{π}{6}, k \in Z}$ D、 ${x | 2 k π + \frac{π}{2} < x < 2 k π + π, k \in Z}$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x - 1} + 1, x \leq 1 \\ |ln (x - 1)|, x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $2 {[f (x)]}^{2} - (2 a + 5) f (x) + 5 a = 0$ 有5个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1] \cup (2, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(1, 2]$

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8、若 $\sin α - \cos α = \frac{1}{5}$ ， $α \in (π, 2 π)$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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9、如图，我们把由平面内夹角成 $60^{\circ}$ 的两条数轴 $O x$ ， $O y$ 构成的坐标系，称为“完美坐标系”. 设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别为 $O x$ ， $O y$ 正方向上的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把实数对 $[x, y]$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 的“完美坐标”.

(1)、若向量 $\vec{O P}$ 的“完美坐标”为 $[3 ， 4]$ ，求 $|\vec{O P}|$ ；

(2)、已知 $[x_{1}, y_{1}]$ ， $[x_{2}, y_{2}]$ 分别为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“完美坐标”. 证明： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + \frac{1}{2} (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ ；

(3)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“完美坐标”分别为 $[x_{1}, y_{1}]$ ， $[x_{2}, y_{2}]$ ，求证： $\vec{a} // \vec{b}$ 的充要条件是 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ .

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10、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $C (2 \cos θ, \sin θ)$ ，其中 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、若 $\vec{A B} ∥ \vec{O C}$ ，求 $\tan θ$ 的值；

(2)、设点 $D (1, 0)$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的取值范围．

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11、已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $p (- 4 m, - 3 m) (m > 0)$ .

(1)、求 $\sin θ$ ， $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (- θ) \cdot \sin (θ - 3 π) \cdot \cos (π + θ)}{\sin (2 π - θ) \cdot \cos (3 π - θ) \cdot \sin (\frac{5π}{2} - θ)}$ 的值.

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12、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, m), \vec{c} = (n, - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} / / \vec{c}$ ，则 $m - n =$ .

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13、已知 $A 、 B 、 C$ 三点在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，且 $A C ⊥ B C$ ，为圆 $O$ 所在平面内一点，且 $|O M| = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{M C}|$ 的最小值是1 B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值 C、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最大值是10 D、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最小值是8

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14、下列命题中，正确的命题有（）

A、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 B、 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线的充要条件 C、若 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ， $\vec{b} \neq \vec{0}$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或者相反 D、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，且 $|\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}| = 1$ ，则 $|\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}| = \sqrt{2}$

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15、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 和两点 $A (t, 0)$ ， $B (- t, 0) (t > 0)$ ，若圆 $C$ 上至少存在一点 $P$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} < 0$ ，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 8)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(1, 3)$

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16、如图所示，半圆的直径 $A B = 4$ ， $O$ 为圆心， $C$ 是半圆上不同于 $A, B$ 的任意一点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、2

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17、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ， $\vec{D M} = 3 \vec{M C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B M} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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18、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{D C}$

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19、以下说法中正确的是（）

A、两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B、两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C、单位向量都是共线向量 D、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等

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20、悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的图象.现定义双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，回答以下问题：

(1)、类比三角函数的导数关系： $(sin x)^{'} = cos x$ ， $(cos x)^{'} = - sin x$ ，写出 $sh (x)$ 与 $ch (x)$ 的导数关系式，并证明 $ch (x + y) = ch (x) ch (y) + sh (x) sh (y)$ ；

(2)、对任意 $x > 0$ ，恒有 $sh (x) > a x$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、求 $f (x) = ch (x) - cos x - x^{2}$ 的最小值．

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