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相关试卷

1、已知焦点在y轴上的椭圆C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）过点 $(1,0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .设 $A, B$ 分别为椭圆 $C$ 的下顶点和上顶点， $P$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的一点，直线 $A P, B P$ 分别与直线 $l$ ： $y = 4$ 相交于 $M, N$ 两点，且直线 $M B$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $H$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、判断三点 $A, H, N$ 是否共线，并证明你的结论.

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2、 $H$ 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.
明年冬小麦统一收购价格（单位：元 $/ kg$ ）
$2.4$
$3$
概率
$0.4$
$0.6$
表1
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

(1)、试估计 $H$ 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 $1500$ 元的概率；

(2)、设 $H$ 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、 $H$ 地区农科所研究发现，若每亩多投入 $125$ 元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加 $50 kg$ .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.

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3、知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，过 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为 $F_{2} .$

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、如图，下顶点为A，过点 $B (0, 2)$ 作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H， $G .$ 求证： $△ A B G$ 与 $△ A O H$ 的面积之积为定值，并求出该定值.

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4、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点， $B_{1} C_{1}$ 与平面 $C D E$ 交于点 $F$ ．
（1）求证： $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点；
（2）点 $M$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，且二面角 $M - F C - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值．

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5、在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标 $x$ 和 $y$ ，制成下图，其中“ $*$ ”表示甲村贫困户，“ $+$ ”表示乙村贫困户.若 $0 < x < 0.6$ ，则认定该户为“绝对贫困户”，若 $0.6 \leq x \leq 0.8$ ，则认定该户为“相对贫困户”，若 $0.8 < x \leq 1$ ，则认定该户为“低收入户”；若 $y \geq 100$ ，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用 $ξ$ 表示所选3户中乙村的户数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标 $y$ 的方差的大小（只需写出结论）.

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6、斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ ）.给出下列四个结论：
①存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{m}$ ， $a_{m + 1}$ ， $a_{m + 2}$ 成等差数列；
②存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{m}$ ， $a_{m + 1}$ ， $a_{m + 2}$ 成等比数列；
③存在常数t，使得对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n}$ ， $t a_{n + 2}$ ， $a_{n + 4}$ 成等差数列；
④不存在正整数 $i_{1}$ ， $i_{2}$ ， …， $i_{m}$ ，且 $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m}$ ，使得 $a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + \dots + a_{i_{m}} = 2023$ .
其中所有正确结论的序号是.

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7、若 ${(2 - x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0} + a_{3} =$ .

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8、如图所示， $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若 $| A B | : |B F_{2}| : |A F_{2}| = 3 : 4 : 5$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{3}$

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9、在平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ，圆 $C ：$ ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 ${|M A|}^{2} + {|M B|}^{2} = 12$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 - \sqrt{2}, 1 + 2 \sqrt{2}]$ B、 $[1 - 2 \sqrt{2}, 1 + 2 \sqrt{2}]$ C、 $[1, 1 + 2 \sqrt{2}]$ D、 $[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q且 $q \neq 1$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} ... a_{n} (n = 1, 2, 3, ...)$ 、则“ $a_{1} > 0$ 且 $q > 1$ ”是“ $\{T_{n}\}$ 为递增数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 和双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的离心率之积为1，则双曲线 $C_{2}$ 的两条渐近线的倾斜角分别为（）

A、 $\frac{π}{6}$ ， $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ ， $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ ， $\frac{2 π}{3}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2017} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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13、 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 是两个等差数列，其中 $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ （ $1 \leq k \leq 5$ ）为一固定常数值， $a_{1} = 288$ ， $a_{5} = 96$ ， $b_{1} = 192$ ，则 $b_{3} =$ （）

A、32 B、48 C、64 D、128

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14、已知 $x \in [0, \frac{π}{4}], sin x + cos x = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan (x - \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、 $- \sqrt{5}$ D、2

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $S_{n} \leq 2 a_{n} - 4 n - λ$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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16、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a = \sqrt{41}$ ， $2 b \sin \frac{B + C}{2} = \sqrt{5} a \sin B$ ．
（1）求 $\sin A$ ；
（2）如图，M为边AC上一点，且 $M C = 2 M B$ ， $∠ A B M = \frac{π}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求该样本的第75百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在 $[40, 50), [50, 60)$ 各一人的概率．

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18、如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为.

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19、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为6，则数据 $2 x_{1} - 3$ ， $2 x_{2} - 3$ ， $2 x_{3} - 3$ ， $2 x_{4} - 3$ ， $2 x_{5} - 3$ 的方差为；

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且 $\frac{f (x + y)}{x + y} = \frac{f (x) f (y)}{x y}$ ，且 $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (2) = 8$ B、 $f (3) + f (4) + f (5) = 168$ C、 $\frac{f (10)}{f (8)} = 5$ D、 $f (2024) = 2024 \times 2^{2024}$

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