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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

(1)、写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + (3 - a) x + 4 (x \in [2, 4])$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值.

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2、设集合 $U = R, A = \{x ∣ 0 \leq x \leq 3\}, B = \{x ∣ m - 2 \leq x \leq 2 m\}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A \cap B, A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值集合.

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3、计算：
（1） ${0.027}^{- \frac{1}{3}} - {(- \frac{1}{7})}^{- 2} + 16^{\frac{3}{2}} - 3^{- 1} + 2 \cdot {(\sqrt{3} - 1)}^{0}$ .
（2） $\frac{\lg 8 + \lg 125 - \lg 2 - \lg 5}{\lg \sqrt{10} . \lg 0.01}$

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4、已知函数 $f (x) = \log_{0.5} (x^{2} + 2 x - 3)$ ，则函数 $f (x)$ 单调递增区间为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3)$

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5、与 $- 468^{\circ}$ 角的终边相同的角的集合是

A、 $\{α |α = k \cdot 360^{\circ} + 456^{\circ}, k \in Z\}$ B、 $\{α |α = k \cdot 360^{\circ} + 252^{\circ}, k \in Z\}$ C、 $\{α |α = k \cdot 360^{\circ} + 96^{\circ}, k \in Z\}$ D、 $\{α |α = k \cdot 360^{\circ} - 252^{\circ}, k \in Z\}$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为C上的动点， $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为6.

(1)、求C的标准方程.

(2)、延长线段 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 分别交C于Q，M两点，连接 $Q F_{2}$ ，并延长线段 $Q F_{2}$ 交C于另一点N，若直线 $P Q$ 和 $M N$ 的斜率均存在，且分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试判断 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，且满足 $a_{1} = 1, a_{3} = 9$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n + a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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8、已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值与最小值．

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9、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ ，点N在C上，点 $M (- a, 0) (a > 0)$ ，若点M，N关于直线 $y = \sqrt{3} (x - 1)$ 对称，则 $a =$ .

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10、若向量 $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 2)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ ．

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11、公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{2} = 5$ ， $a_{1} - a_{3} = - 15$ ，则（）

A、 $a_{1} = 1$ B、 $q = 4$ C、 $S_{4} = - 85$ D、 $a_{n} = 4^{n - 1}$

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12、下列求导运算正确的是（）

A、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ B、 ${(\frac{1}{x^{2}})}^{'} = - \frac{2}{x^{3}}$ C、 ${(\cos x)}^{'} = - \sin x$ D、 ${(\ln x + 3)}^{'} = \frac{1}{x} + 3$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $a_{3} + a_{9} = 24$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、12 B、14 C、42 D、84

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14、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线与直线 $2 x + y - 3 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n_{1}} = (3, 0, λ)$ ，平面 $β$ 的一个法向量 $\vec{n_{2}} = (2, 1, 6)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、4 C、 $- 1$ D、1

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 2 n + 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、已知 $M, N$ 为 $R$ 的子集，且 $M \cap N = \emptyset$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $M$ C、 $N$ D、 $R$

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18、已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(\sqrt{3}, 0)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$

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19、牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 $r$ 是 $f (x) = 0$ 的根，选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L, L$ 的方程为 $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .如果 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ ，则 $L$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为 $r$ 的一阶近似值.再过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，并求出切线与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的二阶近似值.重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列： $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，根据已有精确度 $ε$ ，当 $|x_{n} - r| < ε$ 时，给出近似解.对于函数 $f (x) = x + ln x$ ，已知 $f (r) = 0$ .

(1)、若给定 $x_{0} = 1$ ，求 $r$ 的二阶近似值 $x_{2}$ ；

(2)、设 $x_{n + 1} = g (x_{n}), h (x) = - (x + 1) g (x) - ln x + e^{x} - e^{- x}$
①试探求函数 $h (x)$ 的最小值 $m$ 与 $r$ 的关系；
②证明： $m < \sqrt{e} - \frac{3}{4}$ ．

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20、杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……

(1)、设“三角垛”各层球数构成一个数列 $\{a_{n}\}$ ，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列 $\{a_{n}\}$ ；1，3，6，10，15，…，请写出 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 的递推关系，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记杨辉三角的第 $n$ 行所有数之和为 $b_{n}$ ，令 $c_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n + 1}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）若 $\forall n \in N^{*}, T_{n} + 2^{n + 1} < m \cdot 3^{n + 1} + 2$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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