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相关试卷

1、如图，已知点 $P$ 在圆柱 $O O_{1}$ 的底面圆 $O$ 上， $A B$ 为圆 $O$ 的直径， $O A = 2$ ， $∠ A O P = 120^{°}$ ，三棱锥 $A_{1} - A P B$ 的体积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求圆柱 $O O_{1}$ 的表面积；

(2)、求三棱锥 $A_{1} - A P B$ 外接球的体积.

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2、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面边长分别为1和2，且 $B B_{1}$ 与 $D D_{1}$ 所在直线互相垂直，则该棱台的体积为．

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3、设 $O$ 是原点，向量 $\vec{O A}, \vec{O B}$ 对应的复数分别为 $2 - 3 i, - 4 + i$ ，那么向量 $\vec{B A}$ 对应的复数是．

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 平分 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量相等 D、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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5、若复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{17}$ B、 $z$ 的实部与虚部之差为 $5$ C、 $\bar{z} = 4 + i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限

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6、将正弦曲线 $y = \sin x$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到曲线 $C_{1}$ ，再将曲线 $C_{1}$ 上的每一点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到曲线 $C_{2}$ ，最后将曲线 $C_{2}$ 上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的 $C_{3}$ ，若曲线 $C_{3}$ 恰好是函数 $f (x)$ 的图象，则 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[- 2, 2]$

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 2), \vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(0, 1)$

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8、如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是侧面 $A A_{1} D D_{1}$ ，侧面 $C C_{1} D D_{1}$ 的中心， $G, H$ 分别是线段 $A B, B C$ 的中点，则直线 $E F$ 与直线 $G H$ 的位置关系是（）

A、相交 B、异面 C、平行 D、无法确定

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9、定义：若非零向量 $\vec{O M} = (a, b)$ ，函数 $f (x)$ 的解析式满足 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，则称 $f (x)$ 为 $\vec{O M}$ 的伴随函数， $\vec{O M}$ 为 $f (x)$ 的伴随向量，

(1)、若向量 $\vec{O M}$ 为函数 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 4 sin (x - \frac{π}{2})$ 的伴随向量，求 $|\vec{O M}|$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的伴随函数，在 $△ A B C$ 中， $f (A) = 1$ ，且 $sin (B - C) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求证： $tan B = 3 tan C$ ．

(3)、若函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M} = (2, 1)$ 的伴随函数，关于 $x$ 的方程 $f (x) = m + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 2 \sqrt{3} |cos x|$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且仅有四个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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10、已知向量 $\vec{a} = (2 \sqrt{3}, \sin ω x)$ ， $\vec{b} = (\cos^{2} ω x, 2 \cos ω x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \sqrt{3} (ω > 0)$ ， $f (x)$ 相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 单调递增区间和对称轴方程；

(3)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得 $g (x)$ 的图象，若关于x的方程 $g (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 上只有一个解，求实数m的取值范围．

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11、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 a \cos B = 2 c + b$ .
（1）求 $A$ ；
（2）若 $a = 3 \sqrt{3}, b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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12、设两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线．

(1)、若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a} + \vec{b}, \overset{⃑}{B C} = 2 \vec{a} + 7 \vec{b}, \overset{⃑}{C D} = \vec{a} - 4 \vec{b}$ ．求证：A、B、D三点共线；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 和 $2 \vec{a} + k \vec{b}$ 共线，求实数k的值．

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13、为迎接大运会的到来，学校决定在半径为 $20 \sqrt{2} m$ ，圆心角为 $\frac{π}{4}$ 的扇形空地 $O P Q$ 的内部修建一平行四边形观赛场地 $A B C D$ ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 $m^{2}$ .

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14、已知 $sin α - cos β = 0, cos α - sin β = 2$ ，则 $sin (α + β) =$ ．

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15、已知 $\vec{a} = (λ, 2), \vec{b} = (3, - 5)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $λ$ 的范围为．

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 sin \frac{2 π}{9} x, - \frac{27}{4} \leq x \leq \frac{9}{4}, \\ |{log}_{\frac{1}{2}} (x - 2)|, x > \frac{9}{4}, \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有四个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （其中 $a$ 为实数， $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），则下列结论中正确的是（）

A、 $0 < a < 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = - \frac{9}{2}$ C、 $x_{3}^{2} + x_{4}^{2} < 18$ D、 $x_{3} x_{4} + 3 = 2 (x_{3} + x_{4})$

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17、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = \frac{k π}{2} - \frac{π}{12} (k \in Z)$ D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到

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18、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ B、若 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围为 $[1, 7]$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$

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19、在 $△ A B C$ 中，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \sqrt{3} b c$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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20、已知 $sin (\frac{π}{3} - x) = \frac{1}{4}$ ，则 $cos (\frac{π}{6} + x) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$

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