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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 1, B_{1} C = \sqrt{3}$ .

(1)、证明：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A A_{1}$ 中点，求平面 $A B C$ 与平面 $B_{1} C D$ 夹角的正弦值.

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2、设 $n (n ⩾ 3)$ 为正整数，从集合 $\{0, 1, 2, \dots, n\}$ 的所有二元子集中任取两个，记为 $\{s, t\}$ ， $\{i, j\}$ ，其中 $s < t, i < j, \{s, t\}$ 与 $\{i, j\}$ 可以相同.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，记直线 $y = s, y = t$ 与直线 $x = i, x = j$ 的四个交点分别为 $A, B, C, D$ ，则以 $A, B, C, D$ 为顶点的四边形为正方形的概率为.（用含 $n$ 的代数式表示）附参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

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3、若样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ 的平均数为 $4, x_{i}^{2} (i = 1, 2, \dots, 5)$ 的平均数为22，则样本数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \dots, 2 x_{5} + 1, 9$ 的方差为.

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4、曲线 $y = \sqrt{x} - ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为.

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, \forall a, b \in R, {[f (a)]}^{2} - m {[f (b)]}^{2} = f (a + b) f (a - b)$ ，其中 $m$ 为给定的常数，且 $f (x)$ 不为常函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $m = 1$ 时， $f (x)$ 为奇函数 C、 $m = 0$ 或1是 $f (x)$ 存在的充要条件 D、当 $m = 0$ 时， $f (x)$ 没有最值

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6、设双曲线 $E : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2} . P$ 为 $E$ 上一点，且位于第一象限，直线 $P A_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A_{1} A_{2}$ 的面积为 $S$ ，则（）

A、 $tan ∠ P A_{1} A_{2} \cdot tan ∠ P A_{2} A_{1} = 1$ B、 $∠ P A_{2} Q = 90^{\circ}$ C、若 $|A_{1} A_{2}| = |A_{2} P|$ ，则 $|A_{1} P| = 2 \sqrt{3}$ D、若 $∠ A_{1} P A_{2} = 30^{\circ}$ ，则 $S = \sqrt{6}$

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7、已知正四面体 $P A B C$ 的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $A P ⊥ B C$ B、 $A P$ 与 $B C$ 的距离为 $\sqrt{6}$ C、二面角 $A - B P - C$ 的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、正四面体 $P - A B C$ 的体积为 $2 \sqrt{6}$

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8、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ . $P$ 为 $C$ 上一点， $⊙ P$ 的半径为 $|P F|$ ，过 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $⊙ P$ 于 $M, N$ 两点， $M$ 在 $N$ 的左侧.记 $C$ 的离心率为 $e$ ，点 $M$ 轨迹的离心率为 $e_{1}$ ，点 $N$ 轨迹的离心率为 $e_{2}$ ，则（）

A、 $e_{1} < e_{2}$ B、 $e_{2} < e_{1}$ C、 $e_{1} < e$ D、 $e < e_{2}$

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9、若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) + tan (\frac{α}{2} - \frac{π}{4}) = cos α$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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10、已知圆柱 $M M_{1}$ 与圆锥 $N N_{1}$ 的体积与侧面积均相等，若 $N N_{1}$ 的轴截面为等腰直角三角形，则 $M M_{1}$ 与 $N N_{1}$ 的底面半径之比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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11、若函数 $f (x) = e^{x + 1} + e^{a - x} + {(x + b)}^{2}$ 关于直线 $x = 2$ 对称，则 $a + b =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、7

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12、已知 $x, y > 0$ ，设命题 $p : x + y ⩽ 2$ ，命题 $q : x y ⩽ 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设集合 $A = \{x |\frac{1 - x}{3 - x} ⩾ 0\}, B = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B$ 中所有元素之和为（）

A、3 B、8 C、9 D、12

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 3, \vec{b} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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15、在复平面内， $\frac{1 + i}{1 + 2 i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、图1是由矩形ADEB、 $R t △ A B C$ 和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 $A B = 1$ ， $B E = B F = 2$ ， $∠ F B C = 60 °$ ，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.

(1)、证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面 $A B C ⊥$ 平面BCGE；

(2)、求图2中的平面BCG与平面ACG所成角的大小.

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17、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n} + 2$ ．
（1）设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，证明 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；
（2）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, 0, 2)$ ， $\vec{b} = (0, 2, - 1)$ ， $\vec{c} = (3, 4, m)$ ，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数 $m$ 的值为．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - n^{2} + 31 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = - 2 n + 32$ B、 $S_{17}$ 为 $S_{n}$ 中的最大项 C、 $\frac{a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{13}}{a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{12}} = \frac{7}{6}$ D、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \dots + |a_{30}| = 430$

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20、 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过左焦点 $F_{1}$ 的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若 $|A B| : |B F_{2}| : |A F_{2}| = 3 : 4 : 5$ ，则双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 3 \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 4 \sqrt{3} x$

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